CENTRO DE GRAVIDADE: PROPRIEDADES, CÁLCULO, EXEMPLOS - FISICA - 2024

O centro de gravidade de um corpo de tamanho mensurável é o ponto onde seu peso é considerado aplicado. É, portanto, um dos principais conceitos da Estática.

A primeira abordagem nos problemas de Física Elementar consiste em assumir que qualquer objeto se comporta como um ponto de massa, ou seja, não tem dimensões e toda a massa está concentrada em um único ponto. Isso é válido para uma caixa, um carro, um planeta ou uma partícula subatômica. Este modelo é conhecido como modelo de partículas.

Figura 1. No salto em altura o atleta consegue fazer com que seu centro de gravidade fique fora do corpo. Fonte: Pixabay

É claro que isso é uma aproximação, que funciona muito bem para muitas aplicações. Não é uma tarefa fácil considerar o comportamento individual dos milhares e milhões de partículas que qualquer objeto pode conter.

No entanto, as dimensões reais das coisas devem ser levadas em consideração para que resultados mais próximos da realidade sejam obtidos. Visto que geralmente estamos nas proximidades da Terra, a força sempre presente em qualquer corpo é precisamente o peso.

Considerações para encontrar o centro de gravidade

Se o tamanho do corpo for levado em consideração, onde especificamente o peso deve ser aplicado? Quando você tem um objeto contínuo de formato arbitrário, seu peso é uma força distribuída entre cada uma de suas partículas constituintes.

Sejam essas partículas m ₁, m ₂, m ₃… Cada uma delas experimenta sua força gravitacional correspondente m ₁ g, m ₂ g, m ₃ g…, todas elas paralelas. Isso porque o campo gravitacional da Terra é considerado constante na grande maioria dos casos, pois os objetos são pequenos em relação ao tamanho do planeta e estão próximos de sua superfície.

Figura 2. O peso do objeto é uma massa distribuída. Fonte: self made.

A soma vetorial dessas forças resulta no peso do objeto, aplicado ao ponto denominado centro de gravidade denotado na figura como CG, que então coincide com o centro de massa. O centro de massa, por sua vez, é o ponto onde toda a massa pode ser considerada concentrada.

O peso resultante tem magnitude Mg, onde M é a massa total do objeto e, claro, é direcionado verticalmente em direção ao centro da Terra. A notação de soma é útil para expressar a massa total do corpo:

O centro de gravidade nem sempre coincide com um ponto material. Por exemplo, o CG de um anel está em seu centro geométrico, onde não há massa em si. Mesmo assim, se você quiser analisar as forças que atuam em um arco, você deve aplicar o peso neste ponto preciso.

Nos casos em que o objeto tem forma arbitrária, se for homogêneo, seu centro de massa ainda pode ser calculado encontrando o centróide ou centro de gravidade da figura.

Como o centro de gravidade é calculado?

Em princípio, se o centro de gravidade (CG) e o centro de massa (cm) coincidem como o campo gravitacional é uniforme, então o cm pode ser calculado e o peso aplicado a ele.

Consideremos dois casos: o primeiro é aquele em que a distribuição de massa é discreta; ou seja, cada massa que compõe o sistema pode ser contada e atribuída um número i, como foi feito no exemplo anterior.

As coordenadas do centro de massa para uma distribuição de massa discreta são:

Naturalmente, a soma de todas as massas é igual à massa total do sistema M, conforme indicado acima.

As três equações são reduzidas a uma forma compacta ao considerar o vetor r _cm ou vetor posição do centro de massa:

E no caso de uma distribuição de massa contínua, onde as partículas são de tamanho diferencial e não podem ser distinguidas para contá-las, a soma é substituída por uma integral que é feita sobre o volume ocupado pelo objeto em questão:

Onde r é o vetor de posição de um diferencial de massa dm e a definição de densidade de massa foi usada para expressar o diferencial de massa dm contido em um diferencial de volume dV:

Propriedades

Algumas considerações importantes sobre o centro de massa são as seguintes:

- Embora seja necessário um sistema de referência para estabelecer as posições, o centro de massa não depende da escolha feita do sistema, pois é uma propriedade do objeto.

- Quando o objeto tem um eixo ou plano de simetria, o centro de massa está nesse eixo ou plano. Tirar vantagem dessa circunstância economiza tempo de cálculo.

- Todas as forças externas que atuam sobre o objeto podem ser aplicadas ao centro de massa. Acompanhar o movimento desse ponto fornece uma visão geral do movimento do objeto e torna mais fácil estudar seu comportamento.

-Encontrar o centro de gravidade de um corpo em equilíbrio estático

Suponha que você queira fazer com que o corpo da figura anterior esteja em equilíbrio estático, ou seja, ele não se translada ou gira em torno de um eixo de rotação arbitrário que pode ser O.

Figura 3. Esquema para calcular o torque do peso em relação ao ponto O.

-Exemplo resolvido

Uma barra fina de material uniforme tem 6 m de comprimento e pesa 30 N. Um peso de 50 N está pendurado em sua extremidade esquerda e um peso de 20 N está pendurado em sua extremidade direita. Encontre: a) A magnitude da força para cima necessária para manter o equilíbrio da barra, b) O centro de gravidade da montagem.

Solução

O diagrama de força é mostrado na figura a seguir. O peso da barra é aplicado em seu centro de gravidade, que coincide com seu centro geométrico. A única dimensão da barra levada em consideração é o seu comprimento, pois o extrato informa que ela é fina.

Figura 4. Diagrama de forças da barra.

Para que o sistema bar + pesos permaneça em equilíbrio translacional, a soma das forças deve ser zero. As forças são verticais, se considerarmos para cima com sinal + e para baixo com sinal - então:

F- 50 - 20 - 30 N = 0

F = 100 N

Essa força garante o equilíbrio translacional. Tomando os momentos de torção de todas as forças em relação a um eixo que passa pela extrema esquerda do sistema e aplicando a definição:

t = rx F

Os momentos de todas essas forças sobre o ponto selecionado são perpendiculares ao plano da barra:

Portanto:

O centro de gravidade do conjunto barra + pesos está localizado a 2,10 metros da extremidade esquerda da barra.

Diferença do centro de massa

O centro de gravidade coincide com o centro de massa, conforme indicado, desde que o campo gravitacional da Terra seja constante para todos os pontos do objeto a serem considerados. O campo gravitacional da Terra nada mais é do que o valor conhecido e familiar de g = 9,8 m / s ² direcionado verticalmente para baixo.

Embora o valor de g varie com a latitude e a altitude, eles geralmente não afetam os objetos que são discutidos na maior parte do tempo. Seria muito diferente se você considerar um grande corpo nas proximidades da Terra, por exemplo, um asteróide que está muito perto do planeta.

O asteróide tem seu próprio centro de massa, mas seu centro de gravidade não teria mais que coincidir com este, uma vez que g provavelmente experimentaria variações substanciais em magnitude, dado o tamanho do asteróide e os pesos de cada partícula podem não ser paralelos.

Outra diferença fundamental é que o centro de massa é encontrado independentemente de haver ou não uma força chamada peso aplicada ao objeto. É uma propriedade intrínseca do objeto que nos revela como sua massa se distribui em relação à sua geometria.

O centro de massa existe quer haja peso aplicado ou não. E está localizado na mesma posição, mesmo que o objeto se mova para outro planeta no qual o campo gravitacional seja diferente.

Por outro lado, o centro de gravidade está claramente ligado à aplicação do peso, como vimos ao longo dos parágrafos anteriores.

Exemplos de centro de gravidade

Centro de gravidade de objetos irregulares

É muito fácil descobrir onde está o centro de gravidade de um objeto irregular como uma xícara. Primeiro, ele é suspenso em qualquer ponto e a partir daí uma linha vertical é desenhada (na figura 5 é a linha fúcsia da imagem à esquerda).

Ela é então suspensa em outro ponto e uma nova vertical é desenhada (linha turquesa na imagem da direita). A intersecção de ambas as linhas é o centro de gravidade da xícara.

Figura 5. Localização CG de uma caneca. Fonte: modificado do Pixabay.

Objetos de equilíbrio

Vamos analisar a estabilidade de um caminhão viajando na estrada. Quando o centro de gravidade está acima da base do caminhão, o caminhão não tomba. A imagem à esquerda é a posição mais estável.

Figura 6. Balanceando o caminhão. Fonte: self made.

Mesmo quando o caminhão se inclina para a direita, ele poderá retornar a uma posição de equilíbrio estável, como no desenho do meio, já que a vertical ainda passa pela base. No entanto, quando esta linha sai do caminhão, o caminhão tomba.

O diagrama mostra as forças no ponto de apoio: normal em amarelo, peso em verde e atrito estático à esquerda em fúcsia. Normal e fricção são aplicados ao eixo de rotação, portanto, não exercem torque. Portanto, eles não contribuirão para capotar o caminhão.

O peso permanece, o que exerce um torque, felizmente no sentido anti-horário e que tende a retornar o caminhão à sua posição de equilíbrio. Observe que a linha vertical passa pela superfície de apoio, que é o pneu.

Quando o caminhão está na posição mais à direita, o torque do peso muda para sentido horário. Incapaz de ser combatido em outro momento, o caminhão capotará.

Referências

1. Bauer, W. 2011. Physics for Engineering and Sciences. Volume 1. Mc Graw Hill. 247-253.
2. Giancoli, D. 2006. Física: Princípios com Aplicações. 6º.. Ed Prentice Hall. 229-238.
3. Resnick, R. (1999). Fisica. Vol. 1. 3ª Ed. Em espanhol. Compañía Editorial Continental SA de CV 331-341.
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5. Sears, Zemansky. 2016. Física Universitária com Física Moderna. 14º. Ed. Volume 1,340-346.