- Como determinar os componentes retangulares de um vetor?
- Existem outros métodos?
- Exercícios
- Primeiro exercício
- Segundo exercício
- Terceiro exercício
- Referências
Os componentes retangulares de um vetor são os dados que compõem esse vetor. Para determiná-los, é necessário ter um sistema de coordenadas, que geralmente é o plano cartesiano.
Depois de ter um vetor em um sistema de coordenadas, você pode calcular seus componentes. São 2, um componente horizontal (paralelo ao eixo X), denominado "componente no eixo X", e um componente vertical (paralelo ao eixo Y), denominado "componente no eixo Y".
Representação gráfica dos componentes retangulares de um vetor
Para determinar os componentes, é necessário conhecer alguns dados do vetor, como sua magnitude e o ângulo que forma com o eixo X.
Como determinar os componentes retangulares de um vetor?
Para determinar esses componentes, certas relações entre triângulos retângulos e funções trigonométricas devem ser conhecidas.
Na imagem a seguir você pode ver essa relação.
Relações entre triângulos retos e funções trigonométricas
O seno de um ângulo é igual ao quociente entre a medida da perna oposta ao ângulo e a medida da hipotenusa.
Por outro lado, o cosseno de um ângulo é igual ao quociente entre a medida da perna adjacente ao ângulo e a medida da hipotenusa.
A tangente de um ângulo é igual ao quociente entre a medida da perna oposta e a medida da perna adjacente.
Em todas essas relações, é necessário estabelecer o triângulo retângulo correspondente.
Existem outros métodos?
Sim. Dependendo dos dados fornecidos, a maneira de calcular os componentes retangulares de um vetor pode variar. Outra ferramenta amplamente utilizada é o Teorema de Pitágoras.
Exercícios
Os exercícios a seguir colocam em prática a definição das componentes retangulares de um vetor e as relações descritas acima.
Primeiro exercício
Sabe-se que um vetor A tem magnitude igual a 12 e o ângulo que ele faz com o eixo X tem medida de 30 °. Determine os componentes retangulares do referido vetor A.
Solução
Se a imagem for apreciada e as fórmulas descritas acima forem utilizadas, pode-se concluir que o componente no eixo Y do vetor A é igual a
sin (30 °) = Vy / 12 e, portanto, Vy = 12 * (1/2) = 6.
Por outro lado, temos que o componente no eixo X do vetor A é igual a
cos (30 °) = Vx / 12 e, portanto, Vx = 12 * (√3 / 2) = 6√3.
Segundo exercício
Se o vetor A tiver uma magnitude igual a 5 e o componente no eixo x for igual a 4, determine o valor do componente de A no eixo y.
Solução
Usando o Teorema de Pitágoras, temos que a magnitude do vetor A ao quadrado é igual à soma dos quadrados das duas componentes retangulares. Ou seja, M² = (Vx) ² + (Vy) ².
Substituindo os valores dados, você deve
5² = (4) ² + (Vy) ², portanto, 25 = 16 + (Vy) ².
Isso implica que (Vy) ² = 9 e, conseqüentemente, Vy = 3.
Terceiro exercício
Se o vetor A tem uma magnitude igual a 4 e faz um ângulo de 45 ° com o eixo X, determine as componentes retangulares desse vetor.
Solução
Usando as relações entre um triângulo retângulo e as funções trigonométricas, pode-se concluir que a componente no eixo Y do vetor A é igual a
sin (45 °) = Vy / 4 e, portanto, Vy = 4 * (√2 / 2) = 2√2.
Por outro lado, temos que o componente no eixo X do vetor A é igual a
cos (45 °) = Vx / 4 e, portanto, Vx = 4 * (√2 / 2) = 2√2.
Referências
- Landaverde, FD (1997). Geometria (ed. Reimpressão). Progresso.
- Leake, D. (2006). Triângulos (edição ilustrada). Heinemann-Raintree.
- Pérez, CD (2006). Pré-cálculo. Pearson Education.
- Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrias. Tecnológico de CR.
- Sullivan, M. (1997). Pré-cálculo. Pearson Education.
- Sullivan, M. (1997). Trigonometria e Geometria Analítica. Pearson Education.