CONJUNTO INFINITO: PROPRIEDADES, EXEMPLOS - MATEMÁTICAS - 2025

Entende-se por conjunto infinito aquele em que o número de seus elementos é incontável. Ou seja, não importa quão grande seja o número de seus elementos, sempre é possível encontrar mais.

O exemplo mais comum é o conjunto infinito de números naturais N. Não importa o quão grande seja o número, já que você sempre pode obter um maior em um processo que não tem fim:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ………………, 41, 42, 43, ………………………………………., 100, 101, ………………………, 126, 127, 128, ………………… ……………………}

Figura 1. Símbolo do infinito. (pixabay)

O conjunto de estrelas no universo é certamente imenso, mas não se sabe ao certo se é finito ou infinito. Em contraste com o número de planetas do sistema solar, que é conhecido por ser um conjunto finito.

Propriedades do conjunto infinito

Dentre as propriedades dos conjuntos infinitos podemos destacar o seguinte:

1- A união de dois conjuntos infinitos dá origem a um novo conjunto infinito.

2- A união de um conjunto finito com um infinito dá origem a um novo conjunto infinito.

3- Se o subconjunto de um determinado conjunto é infinito, então o conjunto original também é infinito. A afirmação recíproca não é verdadeira.

Você não pode encontrar um número natural capaz de expressar a cardinalidade ou o número de elementos de um conjunto infinito. No entanto, o matemático alemão Georg Cantor introduziu o conceito de número transfinito para se referir a um ordinal infinito maior do que qualquer número natural.

Exemplos

O natural N

O exemplo mais frequente de um conjunto infinito é o dos números naturais. Os números naturais são aqueles usados ​​para contar, porém os números inteiros que podem existir são incontáveis.

O conjunto de números naturais não inclui zero e é comumente denotado como o conjunto N, que de forma extensa é expresso da seguinte forma:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} E é claramente um conjunto infinito.

Uma reticência é usada para indicar que após um número, outro segue e outro em um processo infinito ou infinito.

O conjunto de números naturais unidos ao conjunto que contém o número zero (0) é conhecido como conjunto N +.

N + = {0, 1, 2, 3, 4, 5,….} Que é o resultado da união do conjunto infinito N com o conjunto finito O = {0}, resultando no conjunto infinito N +.

Os inteiros Z

O conjunto de inteiros Z é composto de números naturais, números naturais com sinal negativo e zero.

Os inteiros Z são considerados uma evolução em relação aos números naturais N usados ​​originalmente e primitivamente no processo de contagem.

No conjunto numérico Z dos inteiros, o zero é incorporado para contar ou não contar nada e os números negativos para contar a extração, perda ou falta de algo.

Para ilustrar a ideia, suponha que um saldo negativo apareça na conta bancária. Isso significa que a conta está abaixo de zero e não só a conta está vazia, mas também tem uma diferença ausente ou negativa, que de alguma forma deve ser substituída pelo banco.

Em forma extensa, o conjunto infinito Z de inteiros é escrito assim:

Z = {……., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ……..}

Os racionais Q

Na evolução do processo de contagem e troca de coisas, bens ou serviços, aparecem números fracionários ou racionais.

Por exemplo, na troca de meio pão por duas maçãs, no momento do registro da transação, ocorreu a alguém que a metade deveria ser escrita como uma dividida ou dividida em duas partes: ½. Mas metade da metade do pão seria registrada nos livros da seguinte maneira: ½ / ½ = ¼.

É claro que esse processo de divisão pode ser infinito em teoria, embora na prática seja até que a última partícula de pão seja alcançada.

O conjunto de números racionais (ou fracionários) é denotado da seguinte forma:

Q = {………, -3,…., -2,….., -1, ……, 0,….., 1, ……, 2,….., 3, ……..}

As reticências entre os dois números inteiros significam que entre esses dois números ou valores existem infinitas partições ou divisões. É por isso que se diz que o conjunto de números racionais é infinitamente denso. Isso ocorre porque não importa o quão próximos dois números racionais possam estar um do outro, podem ser encontrados valores infinitos.

Para ilustrar o que foi dito acima, suponha que devemos encontrar um número racional entre 2 e 3. Esse número pode ser 2⅓, que é conhecido como um número misto consistindo de 2 partes inteiras mais um terço da unidade, que é equivalente a escrever 4/3.

Entre 2 e 2⅓ outro valor pode ser encontrado, por exemplo 2⅙. E entre 2 e 2⅙ outro valor pode ser encontrado, por exemplo 2⅛. Entre estes dois outro, e entre eles outro, outro e outro.

Figura 2. Divisões infinitas em números racionais. (wikimedia commons)

Números irracionais I

Existem números que não podem ser escritos como a divisão ou fração de dois números inteiros. É esse conjunto numérico conhecido como o conjunto I dos números irracionais e também é um conjunto infinito.

Alguns elementos notáveis ​​ou representantes desse conjunto numérico são o número pi (π), o número de Euler (e), a razão áurea ou o número áureo (φ). Esses números só podem ser escritos por um número racional:

π = 3,1415926535897932384626433832795 …… (e continua até o infinito e além…)

e = 2,7182818284590452353602874713527… (e continua além do infinito…)

φ = 1,61803398874989484820 …….. (até o infinito…..e além…..)

Outros números irracionais aparecem ao tentar encontrar soluções para equações muito simples, por exemplo, a equação X ^ 2 = 2 não tem uma solução racional exata. A solução exata é expressa pela seguinte simbologia: X = √2, que é lido x igual à raiz de dois. Uma expressão racional (ou decimal) aproximada para √2 é:

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097.

Existem incontáveis ​​números irracionais, √3, √7, √11, 3 ^ (⅓), 5 ^ (⅖) para citar alguns.

O conjunto de reais R

Os números reais são os conjuntos de números usados ​​com mais frequência em cálculo matemático, física e engenharia. Este conjunto de números é a união dos números racionais Q e dos números irracionais I:

R = Q U I

Infinito maior que infinito

Entre os conjuntos infinitos, alguns são maiores do que outros. Por exemplo, o conjunto de números naturais N é infinita, mas é um subconjunto de números inteiros Z que é infinito, de modo conjunto infinito Z é maior do que o conjunto infinito N.

Da mesma forma, o conjunto de números inteiros Z é um subconjunto do números reais R, e, por conseguinte, o conjunto de R é "infinito" o conjunto infinito Z.

Referências

1. Celeberrima. Exemplos de conjuntos infinitos. Recuperado de: celeberrima.com
2. Fuentes, A. (2016). MATEMÁTICA BÁSICA. Uma introdução ao cálculo. Lulu.com.
3. Garo, M. (2014). Matemática: equações quadráticas: Como resolver uma equação quadrática. Marilù Garo.
4. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matemática para gestão e economia. Pearson Education.
5. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matemática 1 SEP. Limite.
6. Preciado, CT (2005). Curso de Matemática 3º. Editorial Progreso.
7. Rock, NM (2006). Álgebra I é fácil! Tão fácil. Equipe Rock Press.
8. Sullivan, J. (2006). Álgebra e trigonometria. Pearson Education.
9. Wikipedia. Conjunto infinito. Recuperado de: es.wikipedia.com