- Qual é a constante de proporcionalidade e tipos
- Proporcionalidade direta
- Proporcionalidade inversa ou indireta
- Como é calculado?
- De acordo com seu gráfico
- De acordo com a tabela de valores
- De acordo com a expressão analítica
- Por regra direta ou composta de três
- História
- Exercícios resolvidos
- Exercício 1
- Exercício 2
- Referências
A constante de proporcionalidade é um elemento numérico relacional, usado para definir o padrão de similaridade entre 2 grandezas que são alteradas simultaneamente. É muito comum representá-la como uma função linear de forma genérica usando a expressão F (X) = kX, mas esta não é a única representação de uma proporcionalidade possível.
Por exemplo, a relação entre X e Y na função Y = 3x tem uma constante de proporcionalidade igual a 3. Observa-se que à medida que a variável independente X cresce, também cresce a variável dependente Y, ao triplo do seu valor anterior.
As alterações aplicadas a uma variável repercutem imediatamente na outra, de modo que há um valor conhecido como constante de proporcionalidade. Isso serve para relacionar as diferentes magnitudes que ambas as variáveis adquirem.
Qual é a constante de proporcionalidade e tipos
De acordo com a tendência de mudança das variáveis, as proporcionalidades podem ser classificadas em 2 tipos.
Proporcionalidade direta
Sugere uma relação unilateral entre duas quantidades. Nele, se a variável independente apresentar algum crescimento, a variável dependente também crescerá. Da mesma forma, qualquer diminuição na variável independente causará uma diminuição na magnitude de Y.
Por exemplo, a função linear usada na introdução; Y = 3X, corresponde a uma relação direta de proporcionalidade. Isso ocorre porque o aumento na variável independente X causará um aumento triplo no valor anterior obtido pela variável dependente Y.
Da mesma forma, a variável dependente diminuirá três vezes seu valor quando X diminuir em magnitude.
O valor da constante de proporcionalidade "K" em uma relação direta é definido como K = Y / X.
Proporcionalidade inversa ou indireta
Neste tipo de funções, a relação entre as variáveis apresenta-se de forma antônimo, onde o crescimento ou decréscimo da variável independente corresponde, respectivamente, ao decréscimo ou crescimento da variável dependente.
Por exemplo, a função F (x) = k / x é uma relação inversa ou indireta. Como o valor da variável independente começa a aumentar, o valor de k será dividido por um número crescente, fazendo com que o valor da variável dependente diminua de acordo com a proporção.
De acordo com o valor obtido por K, a tendência da função proporcional inversa pode ser definida. Se k> 0, então a função estará diminuindo em todos os números reais. E seu gráfico estará no 1º e 3º quadrante.
Ao contrário, se o valor de K for negativo ou menor que zero, a função será crescente e seu gráfico se encontrará no 2º e 4º quadrantes.
Como é calculado?
Existem diferentes contextos em que a definição da constante de proporcionalidade pode ser necessária. Nos diferentes casos, diferentes dados sobre o problema serão mostrados, onde o estudo destes finalmente resultará no valor de K.
De forma genérica, o acima mencionado pode ser recapitulado. Os valores de K correspondem a duas expressões dependendo do tipo de proporcionalidade presente:
- Direto: K = Y / X
- Inverso ou indireto: K = YX
De acordo com seu gráfico
Às vezes, o gráfico de uma função será apenas parcial ou totalmente conhecido. Nestes casos, será necessário, por meio de análise gráfica, determinar o tipo de proporcionalidade. Depois será necessário definir uma coordenada que permita verificar os valores de X e Y para aplicar à fórmula correspondente de K.
Os gráficos referentes às proporcionalidades diretas são lineares. Por outro lado, os gráficos de funções proporcionais inversas geralmente assumem a forma de hipérboles.
De acordo com a tabela de valores
Em alguns casos, existe uma tabela de valores com os valores correspondentes a cada iteração da variável independente. Normalmente, isso envolve fazer o gráfico, além de definir o valor de K.
De acordo com a expressão analítica
Retorna a expressão que define a função analiticamente. O valor de K pode ser resolvido diretamente ou também pode ser inferido a partir da própria expressão.
Por regra direta ou composta de três
Em outros modelos de exercício, alguns dados são apresentados, os quais se referem à relação entre os valores. Isso torna necessário aplicar a regra direta ou composta de três para definir outros dados exigidos no exercício.
História
O conceito de proporcionalidade sempre existiu. Não só na mente e no trabalho dos grandes matemáticos, mas no dia a dia da população, devido à sua praticidade e aplicabilidade.
É muito comum encontrar situações que requerem uma abordagem de proporcionalidade. Estes são apresentados em cada caso em que é necessário comparar variáveis e fenômenos que possuem certas relações.
Por meio de uma linha do tempo podemos caracterizar os momentos históricos, nos quais os avanços matemáticos relativos à proporcionalidade foram aplicados.
- Século II aC O sistema de armazenamento de frações e proporções é adotado na Grécia.
- século V aC A proporção que relaciona o lado e a diagonal de um quadrado também é descoberta na Grécia.
- 600 aC Tales de Mileto apresenta seu teorema a respeito da proporcionalidade.
- Ano 900. O sistema decimal usado anteriormente pela Índia é expandido em razões e proporções. Contribuição dos árabes.
- século XVII. As contribuições relativas às proporções chegam ao cálculo de Euler.
- Século XIX. Gauss contribui com o conceito de número complexo e proporção.
- Século XX. A proporcionalidade como modelo de função é definida por Azcarate e Deulofeo.
Exercícios resolvidos
Exercício 1
É necessário calcular o valor das variáveis x, y, z e g. Conhecendo as seguintes relações proporcionais:
3x + 2y - 6z + 8g = 1925
x / 3 = y / 8 = z / 3 = g / 5
Passamos a definir os valores relativos da constante de proporcionalidade. Podem ser obtidos a partir da segunda relação, onde o valor que divide cada variável indica uma relação ou razão referente a K.
X = 3k y = 2k z = 3k g = 5k
Os valores são substituídos na primeira expressão, onde o novo sistema será avaliado em uma única variável k.
3 (3k) + 2 (2k) - 6 (3k) + 8 (5k) = 1925
9k + 4k -18k + 40k = 1925
35k = 1925
K = 1925/35 = 55
Usando este valor da constante de proporcionalidade, podemos encontrar o número que define cada uma das variáveis.
x = 3 (55) = 165 y = 2 (55) = 110
z = 3 (55) = 165 g = 5 (55) = 275
Exercício 2
Calcule a constante de proporcionalidade e a expressão que define a função, dado seu gráfico.
Primeiramente, o gráfico é analisado, sendo evidente seu caráter linear. Isso indica que se trata de uma função com proporcionalidade direta e que o valor de K será obtido através da expressão k = y / x
Em seguida, é escolhido um ponto determinável do gráfico, ou seja, aquele em que as coordenadas que o compõem podem ser visualizadas com exatidão.
Para este caso, o ponto (2, 4) é usado. De onde podemos estabelecer a seguinte relação.
K = 4/2 = 2
Portanto, a expressão é definida pela função y = kx, que neste caso será
F (x) = 2x
Referências
- Matemática para Eletricidade e Eletrônica. Dr. Arthur Kramer. Cengage Learning, 27 de julho 2012
- Visão 2020: O Papel Estratégico da Pesquisa Operacional. N. Ravichandran. Editores Aliados, 11 de setembro 2005
- E-book Conhecimentos gramaticais e aritméticos do Auxiliar Administrativo do Estado. MAD-Eduforma
- Reforço da Matemática para apoio e diversificação curricular: para apoio e diversificação curricular. Mª Lourdes Lázaro Soto. Narcea Ediciones, 29 de agosto. 2003
- Logística e gestão comercial. Maria José Escudero Serrano. Ediciones Paraninfo, SA, 1 set. 2013