Para saber o que é a raiz quadrada de 3, é importante saber a definição da raiz quadrada de um número.
Dado um número positivo "a", a raiz quadrada de "a", denotada por √a, é um número positivo "b" tal que, quando "b" é multiplicado por ele, o resultado é "a".
A definição matemática diz: √a = b se, e somente se, b² = b * b = a.
Portanto, para saber qual é a raiz quadrada de 3, ou seja, o valor de √3, um número "b" deve ser encontrado tal que b² = b * b = √3.
Além disso, √3 é um número irracional, portanto consiste em um número não periódico infinito de casas decimais. Por esse motivo, é difícil calcular a raiz quadrada de 3 manualmente.
Raiz quadrada de 3
Se você usar uma calculadora, poderá ver que a raiz quadrada de 3 é 1,73205080756887…
Agora, você pode tentar manualmente aproximar esse número da seguinte maneira:
-1 * 1 = 1 e 2 * 2 = 4, isso diz que a raiz quadrada de 3 é um número entre 1 e 2.
-1,7 * 1,7 = 2,89 e 1,8 * 1,8 = 3,24, portanto, a primeira casa decimal é 7.
-1,73 * 1,73 = 2,99 e 1,74 * 1,74 = 3,02, então a segunda casa decimal é 3.
-1,732 * 1,732 = 2,99 e 1,733 * 1,733 = 3,003, portanto, a terceira casa decimal é 2.
E assim por diante você pode continuar. Esta é uma maneira manual de calcular a raiz quadrada de 3.
Existem também outras técnicas muito mais avançadas, como o método Newton-Raphson, que é um método numérico para calcular aproximações.
Onde podemos encontrar o número √3?
Devido à complexidade do número, pode-se pensar que ele não aparece em objetos do cotidiano, mas isso é falso. Se tivermos um cubo (caixa quadrada), de modo que o comprimento de seus lados seja 1, as diagonais do cubo terão uma medida de √3.
Para verificar isso, utiliza-se o Teorema de Pitágoras, que diz: dado um triângulo retângulo, a hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados das pernas (c² = a² + b²).
Por ter um cubo de lado 1, temos que a diagonal do quadrado de sua base é igual à soma dos quadrados das pernas, ou seja, c² = 1² + 1² = 2, portanto a diagonal da base mede √2.
Agora, para calcular a diagonal do cubo, pode-se observar a seguinte figura.
O novo triângulo retângulo tem pernas de comprimentos 1 e √2, portanto, ao usar o teorema de Pitágoras para calcular o comprimento de sua diagonal, obtemos: C² = 1² + (√2) ² = 1 + 2 = 3, ou seja digamos, C = √3.
Assim, o comprimento da diagonal de um cubo com lado 1 é igual a √3.
√3 um número irracional
No início foi dito que √3 é um número irracional. Para verificar isso, assume-se pelo absurdo que se trata de um número racional, com o qual existem dois números "a" e "b", primos relativos, tais que a / b = √3.
Quadrando a última igualdade e resolvendo para "a²", a seguinte equação é obtida: a² = 3 * b². Isso diz que "a²" é um múltiplo de 3, o que leva à conclusão de que "a" é um múltiplo de 3.
Como "a" é um múltiplo de 3, há um inteiro "k" tal que a = 3 * k. Portanto, ao substituir na segunda equação, obtemos: (3 * k) ² = 9 * k² = 3 * b², que é o mesmo que b² = 3 * k².
Como antes, esta última igualdade leva à conclusão de que "b" é um múltiplo de 3.
Em conclusão, "a" e "b" são ambos múltiplos de 3, o que é uma contradição, uma vez que foram originalmente considerados primos relativos.
Portanto, √3 é um número irracional.
Referências
- Bails, B. (1839). Princípios arismáticos. Impresso por Ignacio Cumplido.
- Bernadet, JO (1843). Tratado elementar completo sobre desenho linear com aplicações às artes. José Matas.
- Herranz, DN e Quirós. (1818). Aritmética universal, pura, testamentária, eclesiástica e comercial. gráfica que era de Fuentenebro.
- Preciado, CT (2005). Curso de Matemática 3º. Editorial Progreso.
- Szecsei, D. (2006). Matemática Básica e Pré-Álgebra (edição ilustrada). Career Press.
- Vallejo, JM (1824). Aritmética infantil… Imp. Isso era de García.