- Soluções de uma equação quadrática
- 1.-
- 2.- Em números complexos
- Como são encontradas as soluções de uma equação quadrática?
- Exemplos:
- Referências
Uma equação quadrática ou equação quadrática pode ter zero, uma ou duas soluções reais, dependendo dos coeficientes que aparecem na referida equação.
Se você trabalhar com números complexos, poderá dizer que toda equação quadrática tem duas soluções.
Para começar, uma equação quadrática é uma equação da forma ax² + bx + c = 0, onde a, bec são números reais e x é uma variável.
Diz-se que x1 é uma solução da equação quadrática anterior se substituir x por x1 satisfaz a equação, ou seja, se a (x1) ² + b (x1) + c = 0.
Se tivermos, por exemplo, a equação x²-4x + 4 = 0, então x1 = 2 é uma solução, pois (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.
Pelo contrário, se substituirmos x2 = 0 obtemos (0) ²-4 (0) + 4 = 4 e, como 4 ≠ 0, então x2 = 0 não é uma solução da equação quadrática.
Soluções de uma equação quadrática
O número de soluções de uma equação quadrática pode ser separado em dois casos, que são:
1.-
Ao trabalhar com números reais, as equações quadráticas podem ter:
-Soluções zero: isto é, não há número real que satisfaça a equação quadrática. Por exemplo, a equação dada a equação x² + 1 = 0, não existe tal número real que satisfaça a referida equação, uma vez que ambos x² é maior ou igual a zero e 1 é estritamente maior que zero, então sua soma será maior estrito que zero.
-Uma solução repetida: há um único valor real que satisfaz a equação quadrática. Por exemplo, a única solução para a equação x²-4x + 4 = 0 é x1 = 2.
-Duas soluções diferentes: existem dois valores que satisfazem a equação quadrática. Por exemplo, x² + x-2 = 0 tem duas soluções diferentes que são x1 = 1 e x2 = -2.
2.- Em números complexos
Ao trabalhar com números complexos, as equações quadráticas sempre têm duas soluções que são z1 e z2, onde z2 é o conjugado de z1. Eles também podem ser classificados em:
-Complexos: as soluções são da forma z = p ± qi, onde p e q são números reais. Este caso corresponde ao primeiro caso da lista anterior.
- Complexos puros: é quando a parte real da solução é igual a zero, ou seja, a solução tem a forma z = ± qi, onde q é um número real. Este caso corresponde ao primeiro caso da lista anterior.
-Complexos com parte imaginária igual a zero: é quando a parte complexa da solução é igual a zero, ou seja, a solução é um número real. Este caso corresponde aos dois últimos casos da lista anterior.
Como são encontradas as soluções de uma equação quadrática?
Para calcular as soluções de uma equação quadrática, é usada uma fórmula conhecida como "o resolvente", que diz que as soluções de uma equação ax² + bx + c = 0 são dadas pela expressão na imagem a seguir:
A quantidade que aparece na raiz quadrada é chamada de discriminante da equação quadrática e é denotada pela letra "d".
A equação quadrática terá:
-Duas soluções reais se, e somente se, d> 0.
-Uma solução real repetida se, e somente se, d = 0.
- Soluções reais nulas (ou duas soluções complexas) se, e somente se, d <0.
Exemplos:
-As soluções da equação x² + x-2 = 0 são dadas por:
-A equação x²-4x + 4 = 0 tem uma solução repetida que é dada por:
- As soluções da equação x² + 1 = 0 são dadas por:
Como pode ser visto neste último exemplo, x2 é o conjugado de x1.
Referências
- Fuentes, A. (2016). MATEMÁTICA BÁSICA. Uma introdução ao cálculo. Lulu.com.
- Garo, M. (2014). Matemática: equações quadráticas.: Como resolver uma equação quadrática. Marilù Garo.
- Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matemática para gestão e economia. Pearson Education.
- Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matemática 1 SEP. Limite.
- Preciado, CT (2005). Curso de Matemática 3º. Editorial Progreso.
- Rock, NM (2006). Álgebra I é fácil! Tão fácil. Equipe Rock Press.
- Sullivan, J. (2006). Álgebra e trigonometria. Pearson Education.