QUADRILÁTERO: ELEMENTOS, PROPRIEDADES, CLASSIFICAÇÃO, EXEMPLOS - MATEMÁTICAS - 2025

Um quadrilátero é um polígono com quatro lados e quatro vértices. Seus lados opostos são aqueles que não possuem vértices em comum, enquanto os lados consecutivos são aqueles que possuem um vértice comum.

Em um quadrilátero, ângulos adjacentes compartilham um lado, enquanto ângulos opostos não têm lados em comum. Outra característica importante de um quadrilátero é que a soma de seus quatro ângulos internos é duas vezes o ângulo do plano, ou seja, 360º ou 2π radianos.

Figura 1. Vários quadriláteros. Fonte: F. Zapata.

Diagonais são os segmentos que unem um vértice ao seu oposto e em um dado quadrilátero, uma única diagonal pode ser desenhada de cada vértice. O número total de diagonais em um quadrilátero é dois.

Quadriláteros são figuras conhecidas pela humanidade desde os tempos antigos. Os registros arqueológicos, bem como as construções que hoje sobrevivem, atestam isso.

Da mesma forma, hoje os quadriláteros continuam tendo uma presença importante na vida diária de todos. O leitor encontra esse formulário na tela em que está lendo o texto neste exato momento, em janelas, portas, peças automotivas e inúmeros outros lugares.

Classificação quadrilateral

De acordo com o paralelismo dos lados opostos, os quadriláteros são classificados da seguinte forma:

1. Trapézio, quando não há paralelismo e o quadrilátero é convexo.
2. Trapézio, quando há paralelismo entre um único par de lados opostos.
3. Paralelogramo, quando seus lados opostos são paralelos dois a dois.

Figura 2. Classificação e subclassificação dos quadriláteros. Fonte: Wikimedia Commons.

Tipos de paralelogramo

Por sua vez, os paralelogramos podem ser classificados de acordo com seus ângulos e seus lados da seguinte forma:

1. Retângulo é o paralelogramo que tem seus quatro ângulos internos de igual medida. Os ângulos internos de um retângulo formam um ângulo reto (90º).
2. Quadrado, é um retângulo com seus quatro lados de igual medida.
3. Rhombus é o paralelogramo com seus quatro lados iguais, mas diferentes ângulos adjacentes.
4. Romboide, paralelogramo com diferentes ângulos adjacentes.

Trapézio

O trapézio é um quadrilátero convexo com dois lados paralelos.

Figura 3. Bases, lados, altura e mediana de um trapézio. Fonte: Wikimedia Commons.

- Em um trapézio, os lados paralelos são chamados de bases e os lados não paralelos são chamados de laterais.

- A altura de um trapézio é a distância entre as duas bases, ou seja, o comprimento de um segmento com extremidades nas bases e perpendiculares a elas. Este segmento também é denominado altura do trapézio.

- A mediana é o segmento que une os pontos médios das laterais. Pode-se mostrar que a mediana é paralela às bases do trapézio e seu comprimento é igual ao semisum das bases.

- A área de um trapézio é a sua altura multiplicada pela semi-soma das bases:

Tipos de trapézio

- Trapézio retangular: é aquele com um lado perpendicular às bases. Este lado também é a altura do trapézio.

- Trapézio isósceles: aquele com lados de igual comprimento. Em um trapézio isósceles, os ângulos adjacentes às bases são iguais.

-Tapézio de escala: aquele com as laterais de comprimentos diferentes. Seus ângulos opostos podem ser um agudo e outro obtuso, mas também pode ocorrer que ambos sejam obtusos ou ambos agudos.

Figura 4. Tipos de trapézio. Fonte: F. Zapata.

Paralelogramo

O paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos dois a dois. Em um paralelogramo, os ângulos opostos são iguais e os ângulos adjacentes são suplementares, ou dito de outra forma, os ângulos adjacentes somam 180º.

Se um paralelogramo tem um ângulo reto, então todos os outros ângulos também serão, e a figura resultante é chamada de retângulo. Mas se o retângulo também tiver seus lados adjacentes do mesmo comprimento, todos os seus lados serão iguais e a figura resultante será um quadrado.

Figura 5. Paralelogramos. O retângulo, o quadrado e o losango são paralelogramos. Fonte: F. Zapata.

Quando um paralelogramo tem dois lados adjacentes do mesmo comprimento, todos os seus lados terão o mesmo comprimento e a figura resultante será um losango.

A altura de um paralelogramo é um segmento com extremidades em seus lados opostos e perpendiculares a eles.

Área de um paralelogramo

A área de um paralelogramo é o produto da base pela sua altura, sendo a base um lado perpendicular à altura (figura 6).

Diagonais de um paralelogramo

O quadrado da diagonal que começa a partir de um vértice é igual à soma dos quadrados dos dois lados adjacentes ao referido vértice mais o duplo produto desses lados pelo cosseno do ângulo desse vértice:

f ² = a ² + d ² + 2 ad Cos (α)

Figura 6. Paralelograma. Ângulos opostos, altura, diagonais. Fonte: F. Zapata.

O quadrado da diagonal oposta ao vértice de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados dos dois lados adjacentes ao referido vértice e subtraindo o duplo produto desses lados pelo cosseno do ângulo desse vértice:

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

Lei dos paralelogramos

Em qualquer paralelogramo, a soma dos quadrados de seus lados é igual à soma dos quadrados das diagonais:

a ² + b ² + c ² + d ² = f ² + g ²

re ctángulo

O retângulo é um quadrilátero com seus lados opostos paralelos dois a dois e que também tem um ângulo reto. Em outras palavras, o retângulo é um tipo de paralelogramo com ângulo reto. Por ser um paralelogramo, o retângulo tem lados opostos de igual comprimento a = ce b = d.

Mas como em qualquer paralelogramo os ângulos adjacentes são suplementares e os ângulos opostos iguais, no retângulo por ter um ângulo reto, ele formará necessariamente ângulos retos nos outros três ângulos. Em outras palavras, em um retângulo todos os ângulos internos medem 90º ou π / 2 radianos.

Diagonais de um retângulo

Em um retângulo as diagonais têm o mesmo comprimento, como será demonstrado a seguir. O raciocínio é o seguinte; Um retângulo é um paralelogramo com todos os seus ângulos retos e, portanto, herda todas as propriedades do paralelogramo, incluindo a fórmula que fornece o comprimento das diagonais:

f ² = a ² + d ² + 2 ad Cos (α)

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

com α = 90º

Como Cos (90º) = 0, então acontece que:

f ² = g ² = a ² + d ²

Ou seja, f = g e, portanto, os comprimentos feg das duas diagonais do retângulo são iguais e seu comprimento é dado por:

Além disso, se em um retângulo com os lados adjacentes aeb um lado for tomado como base, o outro lado terá altura e, conseqüentemente, a área do retângulo será:

Área do retângulo = machado b.

O perímetro é a soma de todos os lados do retângulo, mas como os opostos são iguais, segue-se que para um retângulo com os lados aeb o perímetro é dado pela seguinte fórmula:

Perímetro do retângulo = 2 (a + b)

Figura 7. Retângulo com lados a e b. As diagonais feg têm o mesmo comprimento. Fonte: F. Zapata.

Quadrado

O quadrado é um retângulo com os lados adjacentes do mesmo comprimento. Se o quadrado tiver lado a, então suas diagonais feg têm o mesmo comprimento, que é f = g = (√2) a.

A área de um quadrado é seu lado ao quadrado:

Área de um quadrado = a ²

O perímetro de um quadrado é duas vezes o lado:

Perímetro de um quadrado = 4 a

Figura 8. Quadrado com o lado a, indicando sua área, seu perímetro e o comprimento de suas diagonais. Fonte: F. Zapata..

Diamante

O losango é um paralelogramo com seus lados adjacentes do mesmo comprimento, mas como em um paralelogramo os lados opostos são iguais, todos os lados de um losango têm o mesmo comprimento.

As diagonais de um losango têm comprimentos diferentes, mas se cruzam em ângulos retos.

Figura 9. Losango do lado a, indicando sua área, seu perímetro e o comprimento de suas diagonais. Fonte: F. Zapata.

Exemplos

Exemplo 1

Mostre que em um quadrilátero (não cruzado) os ângulos internos somam 360º.

Figura 10: Mostra-se como a soma dos ângulos de um quadrilátero soma 360º. Fonte: F. Zapata.

Um quadrilátero ABCD é considerado (ver figura 10) e a diagonal BD é desenhada. Dois triângulos ABD e BCD são formados. A soma dos ângulos internos do triângulo ABD é:

α + β ₁ + δ ₁ = 180º

E a soma dos ângulos internos do triângulo BCD é:

β2 + γ + δ ₂ = 180º

Adicionando as duas equações, obtemos:

α + β ₁ + δ ₁ + β ₂ + γ + δ ₂ = 180º + 180º

Agrupamento:

α + (β ₁ + β ₂) + (δ ₁ + δ ₂) + γ = 2 * 180º

Ao agrupar e renomear, é finalmente mostrado que:

α + β + δ + γ = 360º

Exemplo 2

Mostre que a mediana de um trapézio é paralela às suas bases e seu comprimento é o semisum das bases.

Figura 11. Mediana MN do trapézio ABCD. Fonte: F. Zapata.

A mediana de um trapézio é o segmento que une os pontos médios de seus lados, ou seja, os lados não paralelos. No trapézio ABCD mostrado na figura 11, a mediana é MN.

Uma vez que M é o ponto médio de AD e N é o ponto médio de BC, as relações AM / AD e BN / BC são iguais.

Ou seja, AM é proporcional a BN na mesma proporção que AD é a BC, então as condições são dadas para a aplicação do teorema de Tales (recíproco) que afirma o seguinte:

"Se os segmentos proporcionais são determinados em três ou mais linhas cortadas por duas secantes, então essas linhas são todas paralelas."

No nosso caso conclui-se que as linhas MN, AB e DC são paralelas entre si, portanto:

"A mediana de um trapézio é paralela às suas bases."

Agora o teorema de Thales será aplicado:

"Um conjunto de paralelos cortado por duas ou mais secantes determinam segmentos proporcionais."

Em nosso caso AD = 2 AM, AC = 2 AO, então o triângulo DAC é semelhante ao triângulo MAO e, conseqüentemente, DC = 2 MO.

Um argumento semelhante permite afirmar que CAB é semelhante a CON, onde CA = 2 CO e CB = 2 CN. Segue-se imediatamente que AB = 2 ON.

Em suma, AB = 2 ON e DC = 2 MO. Então, ao adicionar, temos:

AB + DC = 2 ON + 2 MO = 2 (MO + ON) = 2 MN

Finalmente o MN é liberado:

MN = (AB + DC) / 2

E conclui-se que a mediana de um trapézio mede a semi-soma das bases, ou dito de outra forma: a mediana mede a soma das bases, dividida por dois.

Exemplo 3

Mostre que em um losango as diagonais se cruzam em ângulos retos.

Figura 12. Losango e demonstração de que suas diagonais se cruzam em ângulos retos. Fonte: F. Zapata.

A lousa da figura 12 mostra a construção necessária. Primeiro, o paralelogramo ABCD é desenhado com AB = BC, ou seja, um losango. As diagonais AC e DB determinam oito ângulos mostrados na figura.

Usando o teorema (aip), que afirma que ângulos interiores alternados entre paralelos cortados por uma secante determinam ângulos iguais, podemos estabelecer o seguinte:

α ₁ = γ ₁, α2 = γ2, δ ₁ = β ₁ e δ2 = β2. (*)

Por outro lado, uma vez que os lados adjacentes de um losango são de igual comprimento, quatro triângulos isósceles são determinados:

DAB, BCD, CDA e ABC

Agora é invocado o teorema do triângulo (isósceles), que afirma que os ângulos adjacentes à base são de igual medida, do qual se conclui que:

δ ₁ = β2, δ2 = β ₁, α2 = γ ₁ e α ₁ = γ2 (**)

Se as relações (*) e (**) são combinadas, a seguinte igualdade de ângulos é alcançada:

α ₁ = α2 = γ ₁ = γ ₁ por um lado e β ₁ = β2 = δ ₁ = δ2 por outro.

Recordando o teorema dos triângulos iguais, que afirma que dois triângulos com um lado igual entre dois ângulos iguais são iguais, temos:

AOD = AOB e, consequentemente, também os ângulos ∡AOD = ∡AOB.

Então ∡AOD + ∡AOB = 180º, mas como ambos os ângulos são iguais, temos 2 ∡AOD = 180º, o que implica que ∡AOD = 90º.

Ou seja, é mostrado geometricamente que as diagonais de um losango se cruzam em ângulos retos.

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Mostre que, em um trapézio direito, os ângulos não retos são complementares.

Solução

Figura 13. Trapézio direito. Fonte: F. Zapata.

O trapézio ABCD é construído com bases AB e DC paralelas. O ângulo interno do vértice A é direito (mede 90º), então temos um trapézio direito.

Os ângulos α e δ são ângulos internos entre dois paralelos AB e DC, portanto são iguais, ou seja, δ = α = 90º.

Por outro lado, foi demonstrado que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero soma 360º, ou seja:

α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.

O acima leva a:

β + δ = 180º

Confirmando o que se queria mostrar, que os ângulos β e δ são suplementares.

- Exercício 2

Um paralelogramo ABCD possui AB = 2 cm e AD = 1 cm, além do ângulo BAD é 30º. Determine a área deste paralelogramo e o comprimento de suas duas diagonais.

Solução

A área de um paralelogramo é o produto do comprimento de sua base e sua altura. Nesse caso, o comprimento do segmento b = AB = 2 cm será tomado como base, o outro lado tem comprimento a = AD = 1 cm e a altura h será calculada da seguinte forma:

h = AD * Sen (30º) = 1 cm * (1/2) = ½ cm.

Assim: Área = b * h = 2 cm * ½ cm = 1 cm ².

Referências

1. CEA (2003). Elementos de geometria: com exercícios e geometria de compasso. University of Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matemática 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. (2007). Descubra polígonos. Empresa de educação de referência.
4. Hendrik, V. (2013). Polígonos generalizados. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Matemática Primeiro Semestre Tacaná. IGER.
6. Geometria Jr. (2014). Polígonos. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren e Hornsby. (2006). Matemática: Raciocínio e aplicações (décima edição). Pearson Education.
8. Patiño, M. (2006). Matemática 5. Editorial Progreso.
9. Wikipedia. Quadriláteros. Recuperado de: es.wikipedia.com