CURTOSE: DEFINIÇÃO, TIPOS, FÓRMULAS, PARA QUE SERVE, EXEMPLO - DUDAS - 2024

A curtose ou curtose é um parâmetro estatístico utilizado para caracterizar a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória, indicando o grau de concentração dos valores em torno da medida central. Isso também é conhecido como "grau de pico".

O termo vem do grego "kurtos" que significa arqueado, portanto a curtose indica o grau de pontaria ou achatamento da distribuição, conforme pode ser visto na figura a seguir:

Figura 1. Diferentes tipos de curtose. Fonte: F. Zapata.

Quase todos os valores de uma variável aleatória tendem a se agrupar em torno de um valor central, como a média. Mas em algumas distribuições, os valores são mais dispersos do que em outras, resultando em curvas mais planas ou estreitas.

Definição

A curtose é um valor numérico típico de cada distribuição de frequência, que, de acordo com a concentração dos valores em torno da média, são classificados em três grupos:

- Leptocúrtica: em que os valores estão muito agrupados em torno da média, de forma que a distribuição é bastante pontiaguda e esguia (figura 1, à esquerda).

- Mesocúrtico: apresenta moderada concentração de valores em torno da média (figura 1 ao centro).

- Platicúrtica: esta distribuição tem uma forma mais ampla, pois os valores tendem a ser mais dispersos (figura 1 à direita).

Fórmulas e equações

A curtose pode ter qualquer valor, sem limitações. Seu cálculo é realizado em função da forma como os dados são entregues. A notação usada em cada caso é a seguinte:

-Coeficiente de curtose: g ₂

-Média aritmética: X ou x com barra

-Um i-ésimo valor: x _i

- Desvio padrão: σ

-O número de dados: N

-A frequência do i-ésimo valor: f _i

- Marca da classe: mx _i

Com esta notação, apresentamos algumas das fórmulas mais utilizadas para encontrar curtose:

- Curtose de acordo com a apresentação dos dados

Dados não agrupados ou agrupados em frequências

Dados agrupados em intervalos

Excesso de curtose

Também chamado de coeficiente de direcionamento de Fisher ou medida de Fisher, é usado para comparar a distribuição em estudo com a distribuição normal.

Quando o excesso de curtose é 0, estamos na presença de uma distribuição normal ou sino gaussiano. Desta forma, sempre que o excesso de curtose de uma distribuição é calculado, estamos na verdade comparando-o com a distribuição normal.

Para os dados desagrupados e agrupados, o coeficiente de apontamento de Fisher, denotado por K, é:

K = g ₂ - 3

Agora, pode-se mostrar que a curtose da distribuição normal é 3, portanto se o coeficiente de apontamento de Fisher for 0 ou próximo de 0 e houver uma distribuição mesocrútica. Se K> 0 a distribuição é leptocúrtica e se K <0 é platicúrtica.

Para que serve a curtose?

Curtose é uma medida de variabilidade usada para caracterizar a morfologia de uma distribuição. Desta forma, distribuições simétricas com a mesma média e a mesma dispersão (dada pelo desvio padrão) podem ser comparadas.

Ter medidas de variabilidade garante que as médias sejam confiáveis ​​e ajuda a controlar variações na distribuição. Como exemplo, vejamos essas duas situações.

Os salários de 3 departamentos

Suponha que o gráfico a seguir mostre as distribuições de salários de 3 departamentos da mesma empresa:

Figura 2. Três distribuições com curtose diferentes ilustram situações práticas. (Preparado por Fanny Zapata)

A curva A é a mais fina de todas, e de sua forma pode-se inferir que a maior parte dos salários daquele departamento está muito próxima da média, portanto a maioria dos funcionários recebe remuneração semelhante.

Por sua vez, no departamento B, a curva de salários segue uma distribuição normal, uma vez que a curva é mesocúrtica, na qual supomos que os salários foram distribuídos aleatoriamente.

E por fim temos a curva C que está bem plana, sinal de que nesse departamento a faixa salarial é bem mais ampla do que nos demais.

Os resultados de um exame

Agora suponha que as três curvas da Figura 2 representem os resultados de um exame aplicado a três grupos de alunos da mesma disciplina.

O grupo cujas avaliações são representadas pela curva leptocúrtica A é bastante homogêneo, a maioria obteve uma avaliação média ou próxima.

Também é possível que o resultado se deva às questões do teste possuírem mais ou menos o mesmo grau de dificuldade.

Por outro lado, os resultados do grupo C indicam uma maior heterogeneidade do grupo, que provavelmente contém alunos médios, alguns alunos mais avançados e certamente os mesmos menos atentos.

Ou pode significar que as questões do teste têm graus de dificuldade muito diferentes.

A curva B é mesocutica, indicando que os resultados do teste seguiram uma distribuição normal. Normalmente, este é o caso mais frequente.

Exemplo trabalhado de curtose

Encontre o coeficiente de pontuação de Fisher para as seguintes notas, obtido em um exame de Física para um grupo de alunos, com uma escala de 1 a 10:

Solução

A seguinte expressão será usada para dados não agrupados, fornecidos nas seções anteriores:

K = g ₂ - 3

Este valor permite saber o tipo de distribuição.

Para calcular g ₂ é conveniente fazê-lo de forma ordenada, passo a passo, uma vez que várias operações aritméticas devem ser resolvidas.

Passo 1

Primeiro, é calculada a média das notas. Existem N = 11 dados.

Passo 2

O desvio padrão é encontrado, para o qual esta equação é usada:

σ = 1.992

Ou você também pode construir uma tabela, que também é necessária para a próxima etapa e na qual cada termo das somas que serão necessárias é escrito, começando com (x _i - X), depois (x _i - X) ² e então (x _i - X) ⁴:

etapa 3

Faça a soma indicada no numerador da fórmula de g ₂. Para isso, utiliza-se o resultado da coluna direita da tabela anterior:

∑ (x _i - X) ⁴ = 290,15

Portanto:

g ₂ = (1/11) x 290,15 / 1,992 ⁴ = 1,675

O coeficiente de apontamento de Fisher é:

K = g ₂ - 3 = 1,675 - 3 = -1,325

O que interessa é o sinal do resultado, que, sendo negativo, corresponde a uma distribuição platicúrtica, que pode ser interpretada como foi feito no exemplo anterior: possivelmente é um curso heterogêneo com alunos de diferentes graus de interesse ou as questões do exame foram de diferentes níveis de dificuldade.

O uso de uma planilha como o Excel facilita muito a resolução desses tipos de problemas e também oferece a opção de representar graficamente a distribuição.

Referências

1. Levin, R. 1988. Statistics for Administrators. 2ª Edição. Prentice Hall.
2. Marco, F. Curtosis. Recuperado de: economipedia.com.
3. Oliva, J. Asymmetry and kurtosis. Recuperado de: statisticaucv.files.wordpress.com.
4. Spurr, W. 1982. Decision Making in Management. Limusa.
5. Wikipedia. Curtose. Recuperado de: en.wikipedia.org.