DERIVADAS SUCESSIVAS (COM EXERCÍCIOS RESOLVIDOS) - MATEMÁTICAS - 2025

As derivadas sucessivas são aquelas derivadas de uma função após a segunda derivada. O processo para calcular as derivadas sucessivas é o seguinte: temos uma função f, que podemos derivar e assim obter a função derivada f '. Podemos derivar essa derivada de f novamente, obtendo (f ')'.

Essa nova função é chamada de segunda derivada; todas as derivadas calculadas a partir da segunda são sucessivas; Estes, também chamados de ordem superior, têm grandes aplicações, como fornecer informações sobre o plot do gráfico de uma função, o teste da segunda derivada para extremos relativos e a determinação de séries infinitas.

Definição

Usando a notação de Leibniz, temos que a derivada de uma função "y" com respeito a "x" é dy / dx. Para expressar a segunda derivada de "y" usando a notação de Leibniz, escrevemos o seguinte:

Em geral, podemos expressar derivadas sucessivas como segue com a notação de Leibniz, onde n representa a ordem da derivada.

Outras notações usadas são as seguintes:

Alguns exemplos onde podemos ver as diferentes notações são:

Exemplo 1

Obtenha todas as derivadas da função f definida por:

Usando as técnicas usuais de derivação, temos que a derivada de f é:

Repetindo o processo, podemos obter a segunda derivada, a terceira derivada e assim por diante.

Observe que a quarta derivada é zero e a derivada de zero é zero, então temos:

Exemplo 2

Calcule a quarta derivada da seguinte função:

Derivando a função dada, temos como resultado:

Velocidade e aceleração

Uma das motivações que levaram à descoberta da derivada foi a busca pela definição da velocidade instantânea. A definição formal é a seguinte:

Seja y = f (t) uma função cujo gráfico descreve a trajetória de uma partícula no tempo t, então sua velocidade no tempo t é dada por:

Uma vez obtida a velocidade de uma partícula, podemos calcular a aceleração instantânea, que é definida da seguinte forma:

A aceleração instantânea de uma partícula cujo caminho é dado por y = f (t) é:

Exemplo 1

Uma partícula se move ao longo de uma linha de acordo com a função de posição:

Onde "y" é medido em metros e "t" em segundos.

- Em que instante sua velocidade é 0?

- Em que instante sua aceleração é 0?

Ao derivar a função de posição «e» temos que sua velocidade e aceleração são dadas respectivamente por:

Para responder à primeira questão, basta determinar quando a função v passa a zero; isto é:

Prosseguimos com a seguinte questão de forma análoga:

Exemplo 2

Uma partícula se move ao longo de uma linha de acordo com a seguinte equação de movimento:

Determine "t, y" e "v" quando a = 0.

Saber que velocidade e aceleração são dadas por

Prosseguimos para derivar e obter:

Fazendo a = 0, temos:

De onde podemos deduzir que o valor de t para a ser igual a zero é t = 1.

Então, avaliando a função de posição e a função de velocidade em t = 1, temos:

Formulários

Derivação explícita

Derivadas sucessivas também podem ser obtidas por derivação implícita.

Exemplo

Dada a seguinte elipse, encontre "y":

Derivando implicitamente em relação ax, temos:

Então, re-derivar implicitamente em relação ax nos dá:

Finalmente, temos:

Extremos relativos

Outro uso que podemos dar às derivadas de segunda ordem é no cálculo de extremos relativos de uma função.

O critério da primeira derivada para extremos locais nos diz que, se tivermos uma função contínua f em um intervalo (a, b) e houver um c que pertence ao referido intervalo tal que f 'desaparece em c (isto é, que c é um ponto crítico), um dos três casos pode ocorrer:

- Se f´ (x)> 0 para qualquer x pertencente a (a, c) e f´ (x) <0 para x pertencente a (c, b), então f (c) é um máximo local.

- Se f´ (x) <0 para qualquer x pertencente a (a, c) ef´ (x)> 0 para x pertencente a (c, b), então f (c) é um mínimo local.

- Se f´ (x) tem o mesmo sinal em (a, c) e em (c, b), isso implica que f (c) não é um extremo local.

Usando o critério da segunda derivada podemos saber se um número crítico de uma função é um máximo ou mínimo local, sem ter que ver qual é o sinal da função nos intervalos mencionados.

O critério da segunda deriva nos diz que se f´ (c) = 0 e f´´ (x) é contínuo em (a, b), acontece que se f´´ (c)> 0 então f (c) é um mínimo local e se f´´ (c) <0 então f (c) é um máximo local.

Se f´´ (c) = 0, não podemos concluir nada.

Exemplo

Dada a função f (x) = x ⁴ + (4/3) x ³ - 4x ², encontre os máximos e mínimos relativos de f usando o critério da segunda derivada.

Primeiro calculamos f´ (x) e f´´ (x) e temos:

f´ (x) = 4x ³ + 4x ² - 8x

f´´ (x) = 12x ² + 8x - 8

Agora, f´ (x) = 0 se, e somente se 4x (x + 2) (x - 1) = 0, e isso acontece quando x = 0, x = 1 ou x = - 2.

Para determinar se os números críticos obtidos são extremos relativos, basta avaliar em f´´ e assim observar o seu sinal.

f´´ (0) = - 8, então f (0) é um máximo local.

f´´ (1) = 12, então f (1) é um mínimo local.

f´´ (- 2) = 24, então f (- 2) é um mínimo local.

Série Taylor

Seja f uma função definida da seguinte forma:

Esta função tem um raio de convergência R> 0 e derivadas de todas as ordens em (-R, R). As derivadas sucessivas de f nos dão:

Tomando x = 0, podemos obter os valores de c _n como uma função de suas derivadas da seguinte forma:

Se tomarmos an = 0 como a função f (ou seja, f ^ 0 = f), podemos reescrever a função da seguinte maneira:

Agora vamos considerar a função como uma série de potências em x = a:

Se fizermos uma análise análoga à anterior, teríamos que escrever a função f como

Essas séries são conhecidas como séries de Taylor de f a a. Quando a = 0, temos o caso particular denominado série Maclaurin. Este tipo de série é de grande importância matemática principalmente na análise numérica, pois graças a elas podemos definir funções em computadores como e ^x, sin (x) e cos (x).

Exemplo

Obtenha a série Maclaurin para e ^x.

Observe que se f (x) = e ^x, então f ⁽ⁿ⁾ (x) = e ^x e f ⁽ⁿ⁾ (0) = 1, então sua série de Maclaurin é:

Referências

1. Frank Ayres, J. e Mendelson, E. (nd). Cálculo 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). O cálculo com geometria analítica. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Cálculo. México: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Cálculo diferencial. Hipotenusa.
5. Saenz, J. (nd). Cálculo integral. Hipotenusa.