- Maneiras de decompor os números naturais
- Decomposição como um produto de fatores primários
- Decomposição como uma soma de poderes de 2
- Decomposição aditiva
- Exercícios e soluções
- Decomposição em um produto de números primos
- Decomposição
- Decomposição aditiva
- Referências
A decomposição dos números naturais pode ser dada de diferentes maneiras: como produto de fatores primos, como soma de potências de dois e decomposição aditiva. Eles serão explicados em detalhes abaixo.
Uma propriedade útil das potências de dois é que podem converter um número do sistema decimal em um número do sistema binário. Por exemplo, 7 (número no sistema decimal) é equivalente ao número 111, já que 7 = (2 ^ 2) + (2 ^ 1) + (2 ^ 0).
Os números naturais são usados para contar
Os números naturais são os números com os quais os objetos podem ser contados e enumerados. Na maioria dos casos, considera-se que os números naturais começam em 1. Esses números são ensinados na escola e são úteis em quase todas as atividades da vida diária.
Maneiras de decompor os números naturais
Conforme mencionado antes, aqui estão três maneiras diferentes de decompor os números naturais.
Decomposição como um produto de fatores primários
Cada número natural pode ser expresso como um produto de números primos. Se o número já é primo, sua decomposição é multiplicada por um.
Caso contrário, é dividido pelo menor número primo pelo qual é divisível (pode ser uma ou várias vezes), até a obtenção de um número primo.
Por exemplo:
5 = 5 * 1.
15 = 3 * 5.
28 = 2 * 2 * 7.
624 = 2 * 312 = 2 * 2 * 156 = 2 * 2 * 2 * 78 = 2 * 2 * 2 * 2 * 39 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 13.
175 = 5 * 35 = 5 * 5 * 7.
Decomposição como uma soma de poderes de 2
Outra propriedade interessante é que qualquer número natural pode ser expresso como uma soma de potências de 2. Por exemplo:
1 = 2 ^ 0.
2 = 2 ^ 1.
3 = 2 ^ 1 + 2 ^ 0.
4 = 2 ^ 2.
5 = 2 ^ 2 + 2 ^ 0.
6 = 2 ^ 2 + 2 ^ 1.
7 = 2 ^ 2 + 2 ^ 1 + 2 ^ 0.
8 = 2 ^ 3.
15 = 2 ^ 3 + 2 ^ 2 + 2 ^ 1 + 2 ^ 0.
Decomposição aditiva
Outra maneira de decompor os números naturais é considerar seu sistema de numeração decimal e o valor da casa de cada dígito.
Isso é obtido considerando os números da direita para a esquerda e começando com unidade, dez, cem, mil, dez mil, cem mil, um milhão de unidades, etc. Esta unidade é multiplicada pelo sistema de numeração correspondente.
Por exemplo:
239 = 2 * 100 + 3 * 10 + 9 * 1 = 200 + 30 + 9.
4893 = 4 * 1000 + 8 * 100 + 9 * 10 + 3 * 1.
Exercícios e soluções
Considere o número 865236. Encontre sua decomposição em um produto de números primos, na soma das potências de 2, e sua decomposição aditiva.
Decomposição em um produto de números primos
-Como 865236 é par, você pode ter certeza de que o menor primo pelo qual é divisível é 2.
-Dividindo por 2 você obtém: 865236 = 2 * 432618. Novamente, você obtém um número par.
- Continua dividindo até que um número ímpar seja obtido. Então: 865236 = 2 * 432618 = 2 * 2 * 216309.
-O último número é ímpar, mas é divisível por 3, pois a soma dos seus dígitos é.
-Assim, 865236 = 2 * 432618 = 2 * 2 * 216309 = 2 * 2 * 3 * 72103. O número 72103 é primo.
-Portanto, a decomposição desejada é a última.
Decomposição
-O mais alto poder de 2 que está mais próximo de 865236 é procurado.
-Isso é 2 ^ 19 = 524288. Agora repita o mesmo para a diferença 865236 - 524288 = 340948.
-A potência mais próxima neste caso é 2 ^ 18 = 262144. Agora continuamos com 340948-262144 = 78804.
-Neste caso, a potência mais próxima é 2 ^ 16 = 65536. Continue 78804 - 65536 = 13268 e obtemos que a potência mais próxima é 2 ^ 13 = 8192.
-Agora com 13268 - 8192 = 5076 e você obtém 2 ^ 12 = 4096.
- Então, com 5076 - 4096 = 980 e temos 2 ^ 9 = 512. Continuamos com 980 - 512 = 468, e a potência mais próxima é 2 ^ 8 = 256.
-Agora vem 468 - 256 = 212 com 2 ^ 7 = 128.
-Então 212 - 128 = 84 com 2 ^ 6 = 64.
-Agora 84-64 = 20 com 2 ^ 4 = 16.
-E finalmente 20 - 16 = 4 com 2 ^ 2 = 4.
Finalmente você tem que:
865 236 = 2 ^ 19 + 2 ^ 18 + 2 ^ 16 + 2 ^ 13 + 2 ^ 12 + 2 ^ 9 + 2 ^ 8 + 2 ^ 7 + 2 ^ 6 + 2 ^ 4 + 2 ^ 2.
Decomposição aditiva
Identificando as unidades, temos que a unidade corresponde ao número 6, o dez ao 3, o cem ao 2, a unidade do mil ao 5, o dez ao mil ao 6 e o cem do mil ao 8.
Então, 865236 = 8 * 100.000 + 6 * 10.000 + 5 * 1.000 + 2 * 100 + 3 * 10 + 6
= 800.000 + 60.000 + 5.000 + 200 + 30 + 6.
Referências
- Barker, L. (2011). Textos nivelados para matemática: número e operações. Materiais criados pelo professor.
- Burton, M., French, C., & Jones, T. (2011). Usamos Números. Empresa de educação de referência.
- Doudna, K. (2010). Ninguém dorme quando usamos números! Editora ABDO.
- Fernández, JM (1996). Projeto de abordagem de ligação química. Reverte.
- Hernández, J. d. (sf). Caderno de matemática. Limite.
- Lahora, MC (1992). Atividades matemáticas com crianças de 0 a 6 anos. Edições Narcea.
- Marín, E. (1991). Gramática espanhola. Editorial Progreso.
- Tocci, RJ e Widmer, NS (2003). Sistemas digitais: princípios e aplicações. Pearson Education.