DOMÍNIO E CONTRASTE DE UMA FUNÇÃO (COM EXEMPLOS) - MATEMÁTICAS - 2025

Os conceitos de domínio e contra-domínio de uma função são comumente ensinados em cursos de cálculo que são ministrados no início dos cursos universitários.

Antes de definir o domínio e o contradomain, você deve saber o que é uma função. Uma função f é uma lei (regra) de correspondência feita entre os elementos de dois conjuntos.

O conjunto a partir do qual os elementos são escolhidos é chamado de domínio da função, e o conjunto para o qual esses elementos são enviados por meio de f é chamado de contra-domínio.

Em matemática, uma função com domínio A e contra-domínio B é denotada pela expressão f: A → B.

A expressão anterior diz que os elementos do conjunto A são enviados para o conjunto B seguindo a lei de correspondência f.

Uma função atribui a cada elemento do conjunto A um único elemento do conjunto B.

Domínio e Contradominio

Dada uma função real de uma variável real f (x), temos que o domínio da função será todos aqueles números reais de tal forma que, quando avaliados em f, o resultado é um número real.

Geralmente, o contra-domínio de uma função é o conjunto de números reais R. O contra-domínio também é chamado de conjunto de chegada ou codomínio da função f.

O contradomain de uma função é sempre R?

Não. Desde que a função não seja estudada em detalhes, o conjunto de números reais R é geralmente considerado um contra-domínio.

Mas, uma vez que a função foi estudada, um conjunto mais adequado pode ser tomado como um contra-domínio, que será um subconjunto de R.

O conjunto adequado que foi mencionado no parágrafo anterior corresponde à imagem da função.

A definição da imagem ou intervalo de uma função f refere-se a todos os valores que vêm da avaliação de um elemento do domínio em f.

Exemplos

Os exemplos a seguir ilustram como calcular o domínio de uma função e sua imagem.

Exemplo 1

Seja f uma função real definida por f (x) = 2.

O domínio de f são todos os números reais de forma que, quando avaliado em f, o resultado é um número real. O contradomain por enquanto é igual a R.

Como a função dada é constante (sempre igual a 2), não importa qual número real é escolhido, pois ao avaliá-la em f o resultado será sempre igual a 2, que é um número real.

Portanto, o domínio da função dada são todos os números reais; isto é, A = R.

Agora que sabemos que o resultado da função é sempre igual a 2, temos que a imagem da função é apenas o número 2, portanto o contra-domínio da função pode ser redefinido como B = Img (f) = {dois}.

Portanto, f: R → {2}.

Exemplo 2

Seja g uma função real definida por g (x) = √x.

Enquanto a imagem de g não for conhecida, o contraste de g é B = R.

Com esta função deve-se levar em consideração que as raízes quadradas são definidas apenas para números não negativos; ou seja, para números maiores ou iguais a zero. Por exemplo, √-1 não é um número real.

Portanto, o domínio da função g deve ser todos os números maiores ou iguais a zero; ou seja, x ≥ 0.

Portanto, A = [0, + ∞).

Para calcular o intervalo, deve-se notar que qualquer resultado de g (x), por se tratar de uma raiz quadrada, será sempre maior ou igual a zero. Ou seja, B = [0, + ∞).

Em conclusão, g: [0, + ∞) → [0, + ∞).

Exemplo 3

Se tivermos a função h (x) = 1 / (x-1), temos que esta função não está definida para x = 1, pois o denominador obteria zero e a divisão por zero não está definida.

Por outro lado, para qualquer outro valor real, o resultado será um número real. Portanto, o domínio é todo real, exceto um; ou seja, A = R {1}.

Da mesma forma, pode-se observar que o único valor que não pode ser obtido como resultado é 0, pois para uma fração ser igual a zero o numerador deve ser zero.

Portanto, a imagem da função é o conjunto de todos os reais exceto zero, então B = R {0} é tomado como um contraste.

Em conclusão, h: R {1} → R {0}.

Observações

O domínio e a imagem não precisam ser o mesmo conjunto, conforme demonstrado nos Exemplos 1 e 3.

Quando uma função é representada graficamente no plano cartesiano, o domínio é representado pelo eixo X e o contradomínio ou intervalo é representado pelo eixo Y.

Referências

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