ELIPSÓIDE: CARACTERÍSTICAS E EXEMPLOS - ARTE - 2026

O elipsóide é uma superfície no espaço que pertence ao grupo das superfícies quádricas e cuja equação geral tem a seguinte forma:

É o equivalente tridimensional de uma elipse, caracterizado por apresentar traços elípticos e circulares em alguns casos especiais. Os traços são as curvas obtidas pela intersecção do elipsóide com um plano.

Figura 1. Três elipsoides diferentes: no topo uma esfera em que os três semieixos são iguais, no canto inferior esquerdo um esferóide, com dois semieixos iguais e um diferente, e finalmente no canto inferior direito, um esferóide triaxial, com três eixos diferentes comprimento. Fonte: Wikimedia Commons. Ag2gaeh / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Além do elipsóide, existem mais cinco quádricas: hiperbolóide de uma folha e duas folhas, dois tipos de parabolóide (hiperbólico e elíptico) e o cone elíptico. Seus traços também são cônicos.

O elipsóide também pode ser expresso pela equação padrão em coordenadas cartesianas. Um elipsóide centrado na origem (0,0,0) e expresso desta forma, se assemelha à elipse, mas com um termo adicional:

Os valores de a, b e c são números reais maiores que 0 e representam os três semi-eixos do elipsóide.

Características do elipsóide

- Equação padrão

A equação padrão em coordenadas cartesianas para a elipse centrada no ponto (h, k, m) é:

- Equações paramétricas do elipsóide

Em coordenadas esféricas, o elipsóide pode ser descrito da seguinte forma:

x = a sen θ. cos φ

y = b sen θ. sen φ

z = c cos θ

Os semieixos do elipsóide permanecem a, b e c, enquanto os parâmetros são os ângulos θ e φ da seguinte figura:

Figura 2. O sistema de coordenadas esféricas. O elipsóide pode ser parametrizado usando os ângulos exibidos theta e phi como parâmetros. Fonte: Wikimedia Commons. Andeggs / domínio público.

- Traços do elipsóide

A equação geral de uma superfície no espaço é F (x, y, z) = 0 e os traços da superfície são as curvas:

- x = c; F (c, y, z) = 0

- y = c; F (x, c, z) = 0

- z = c; F (x, y, c) = 0

No caso de um elipsóide, essas curvas são elipses e às vezes círculos.

- Volume

O volume V do elipsóide é dado por (4/3) π vezes o produto de seus três semi-eixos:

V = (4/3) π. abc

Casos especiais do elipsóide

-Um elipsóide torna-se uma esfera quando todos os semi-eixos têm o mesmo tamanho: a = b = c ≠ 0. Isso faz sentido, uma vez que o elipsóide é como uma esfera que foi esticada de forma diferente ao longo de cada um eixo.

-O esferóide é um elipsóide em que dois dos semi-eixos são idênticos e o terceiro é diferente, por exemplo a = b ≠ c.

O esferóide também é chamado de elipsóide de revolução, porque pode ser gerado por elipses rotativas em torno de um eixo.

Se o eixo de rotação coincidir com o eixo maior, o esferóide é prolato, mas se coincidir com o eixo menor, é achatado:

Figura 3. Esferóide oblato à esquerda e esferóide prolato à direita. Fonte: Wikimedia Commons.

A medida do achatamento do esferóide (elipticidade) é dada pela diferença de comprimento entre os dois semi-eixos, expressa na forma fracionária, ou seja, é o achatamento unitário, dado por:

f = (a - b) / a

Nesta equação, a representa o semi-eixo maior eb o semi-eixo menor, lembre-se que o terceiro eixo é igual a um destes para um esferóide. O valor de f está entre 0 e 1 e para um esferóide deve ser maior que 0 (se fosse igual a 0 teríamos simplesmente uma esfera).

O elipsóide de referência

Os planetas e as estrelas em geral, geralmente não são esferas perfeitas, porque o movimento rotacional em torno de seus eixos achatam o corpo nos pólos e o abaulam no equador.

É por isso que a Terra se mostra como um esferóide achatado, embora não tão exagerado quanto o da figura anterior, e por sua vez o gigante gasoso Saturno é o mais plano dos planetas do sistema solar.

Portanto, uma forma mais realista de representar os planetas é supor que eles são como um esferóide ou elipsóide de revolução, cujo semieixo maior é o raio equatorial e o semi-eixo menor é o raio polar.

Medidas cuidadosas feitas no globo tornaram possível construir o elipsóide de referência da Terra como a forma mais precisa de trabalhá-lo matematicamente.

As estrelas também têm movimentos rotacionais que lhes dão formas mais ou menos achatadas. A estrela em alta velocidade Achernar, a oitava estrela mais brilhante no céu noturno, na constelação meridional de Eridanus é notavelmente elíptica quando comparada com a maioria. Está a 144 anos-luz de nós.

No outro extremo, há alguns anos os cientistas encontraram o objeto mais esférico já encontrado: a estrela Kepler 11145123, a 5.000 anos-luz de distância, duas vezes o tamanho do nosso Sol e uma diferença entre os semieixos de apenas 3 km. Como esperado, ele também gira mais lentamente.

Quanto à Terra, também não é um esferóide perfeito por causa de sua superfície rugosa e variações locais de gravidade. Por este motivo, existe mais de um esferóide de referência disponível e em cada local é escolhido o mais adequado à geografia local.

A ajuda dos satélites é inestimável para criar modelos cada vez mais precisos da forma da Terra, graças a eles sabe-se, por exemplo, que o pólo sul está mais próximo do equador do que o pólo norte.

Figura 4. Haumea, o planeta anão transnetuniano tem uma forma elipsoidal. Fonte: Wikimedia Commons.

Exemplo numérico

Devido à rotação da Terra, é gerada uma força centrífuga que lhe dá a forma de um elipsóide oblongo, em vez de uma esfera. O raio equatorial da Terra é conhecido como 3.963 milhas e o raio polar é 3.942 milhas.

Encontre a equação do traço equatorial, desse elipsóide e a medida de seu achatamento. Compare também com a elipticidade de Saturno, com os dados fornecidos abaixo:

- Raio equatorial de Saturno: 60.268 km

- Raio polar de Saturno: 54.364 km

Solução

É necessário um sistema de coordenadas, que assumiremos centrado na origem (centro da Terra). Assumiremos o eixo z vertical e o traço que corresponde ao equador encontra-se no plano xy, equivalente ao plano z = 0.

No plano equatorial, os semieixos aeb são iguais, portanto a = b = 3.963 milhas, enquanto c = 3.942 milhas. Este é um caso especial: um esferóide centrado no ponto (0,0,0) como mencionado acima.

O traço equatorial é um círculo de raio R = 3963 milhas, centrado na origem. É calculado fazendo z = 0 na equação padrão:

E a equação padrão do elipsóide terrestre é:

f _Terra = (a - b) / a = (3963-3942) milhas / 3963 milhas = 0,0053

f _Saturno = (60268-54363) km / 60268 km = 0,0980

Observe que a elipticidade f é uma quantidade adimensional.

Referências

1. ArcGIS for Desktop. Esferóides e esferas. Recuperado de: desktop.arcgis.com.
2. BBC World. O mistério do objeto mais esférico já descoberto no Universo. Recuperado de: bbc.com.
3. Larson, R. Calculus and Analytical Geometry. Sexta edição. Volume 2. McGraw Hill.
4. Wikipedia. Elipsóide. Recuperado de: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Esferóide. Recuperado de: en.wikipedia.org.