ENEAGON: PROPRIEDADES, COMO FAZER UM ENEAGON, EXEMPLOS - MATEMÁTICAS

Um enegon é um polígono com nove lados e nove vértices, que podem ou não ser regulares. O nome eneágono vem do grego e é composto pelas palavras gregas ennea (nove) e gonon (ângulo).

Um nome alternativo para o polígono de nove lados é nonagon, que vem da palavra latina nonus (nove) e gonon (vértice). Por outro lado, se os lados ou ângulos do eneagono forem desiguais entre si, então você tem um eneagono irregular. Se, por outro lado, todos os nove lados e nove ângulos do eneagono são iguais, então é um eneagono regular.

Figura 1. Eneagono regular e eneagono irregular. (Elaboração própria)

Propriedades do eneagon

Para um polígono com n lados, a soma de seus ângulos internos é:

(n - 2) * 180º

No enegon seria n = 9, então a soma de seus ângulos internos é:

Sa = (9 - 2) * 180º = 7 * 180º = 1260º

Em qualquer polígono, o número de diagonais é:

D = n (n - 3) / 2 e no caso do enegon, já que n = 9, temos então D = 27.

Enegon regular

No eneagono ou nonagon regular, existem nove (9) ângulos internos de igual medida, portanto, cada ângulo mede um nono da soma total dos ângulos internos.

A medida dos ângulos internos de um enegon é então 1260º / 9 = 140º.

Figura 2. Apótema, raio, lados, ângulos e vértices de um eneagono regular. (Elaboração própria)

Para derivar a fórmula para a área de um enegon regular com lado d, é conveniente fazer algumas construções auxiliares, como as mostradas na figura 2.

O centro O é encontrado traçando as bissetoras de dois lados adjacentes. O centro é equidistante dos vértices.

Um raio de comprimento r é o segmento do centro O a um vértice do enegon. A Figura 2 mostra os raios OD e OE de comprimento r.

O apótema é o segmento que vai do centro ao ponto médio de um lado do enegon. Por exemplo, OJ é um apótema cujo comprimento é a.

Área de um enegon conhecido ao lado e ao apótema

Consideramos o triângulo ODE na figura 2. A área deste triângulo é o produto de sua base DE e a altura OJ dividido por 2:

Área ODE = (DE * OJ) / 2 = (d * a) / 2

Como existem 9 triângulos de áreas iguais no enegon, conclui-se que a área do mesmo é:

Área Enegon = (9/2) (d * a)

Área de um enegon conhecido ao lado

Se apenas o comprimento d dos lados do enegon for conhecido, então é necessário encontrar o comprimento do apótema para aplicar a fórmula da seção anterior.

Consideramos o triângulo retângulo OJE em J (ver figura 2). Se a razão trigonométrica tangente for aplicada, obtemos:

tan (∡ OEJ) = OJ / EJ.

O ângulo ∡OEJ = 140º / 2 = 70º, visto que EO é a bissetriz do ângulo interno do enegon.

Por outro lado, OJ é o apótema do comprimento a.

Então, como J é o ponto médio de ED, segue-se que EJ = d / 2.

Substituindo os valores anteriores na relação tangente, temos:

tan (70º) = a / (d / 2).

Agora esclarecemos a duração do apotema:

a = (d / 2) tan (70º).

O resultado anterior é substituído na fórmula da área para obter:

Área do enegon = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) tan (70º))

Finalmente, encontramos a fórmula que permite obter a área do enegon regular se apenas o comprimento d de seus lados for conhecido:

Área do enegon = (9/4) d ² tan (70º) = 6,1818 d ²

Perímetro de enegon regular conhecido seu lado

O perímetro de um polígono é a soma de seus lados. No caso do enegon, como cada um dos lados mede um comprimento d, seu perímetro será a soma de nove vezes d, ou seja:

Perímetro = 9 d

Perímetro do enegon conhecido seu raio

Considerando o triângulo retângulo OJE em J (ver figura 2), a razão trigonométrica do cosseno é aplicada:

cos (∡ OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / r

De onde é obtido:

d = 2r cos (70º)

Substituindo este resultado, obtemos a fórmula do perímetro em função do raio do enegon:

Perímetro = 9 d = 18 r cos (70º) = 6,1564 r

Como fazer um enegon regular

1- Para construir um eneagono regular, com régua e compasso, comece pela circunferência c que circunscreve o eneagono. (veja a figura 3)

2- Duas linhas perpendiculares são traçadas pelo centro O da circunferência. Em seguida, as interseções A e B de uma das linhas são marcadas com a circunferência.

3- Com a bússola, centralizando na interceptação B e a abertura igual ao raio BO, é desenhado um arco que intercepta a circunferência original em um ponto C.

Figura 3. Etapas para construir um enegon regular. (Elaboração própria)

4- O passo anterior é repetido, mas fazendo um centro em A e raio AO, um arco é desenhado que intercepta a circunferência c no ponto E.

5- Com a abertura AC e centro em A, um arco de circunferência é desenhado. Da mesma forma, com a abertura de BE e centro B outro arco é desenhado. A interseção desses dois arcos é marcada como ponto G.

6- Centrando em G e abrindo GA, é desenhado um arco que intercepta o eixo secundário (horizontal, neste caso) no ponto H. A intersecção do eixo secundário com a circunferência original c é marcada como I.

7- O comprimento do segmento IH é igual ao comprimento d da lateral do enegon.

8- Com a abertura da bússola IH = d, os arcos de centro A raio AJ, centro J raio AK, centro K raio KL e centro L raio LP são desenhados sucessivamente.

9- Da mesma forma, partindo de A e do lado direito, traçam-se arcos de raio IH = d que marcam os pontos M, N, C e Q na circunferência original c.

10- Por fim são sorteados os segmentos AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ e finalmente PB.

Ressalta-se que o método construtivo não é totalmente exato, pois pode-se verificar que o último lado PB é 0,7% mais comprido que os outros lados. Até o momento, não há método conhecido de construção com régua e compasso que seja 100% preciso.

Exemplos

Aqui estão alguns exemplos elaborados.

Exemplo 1

Queremos construir um enegon regular cujos lados medem 2 cm. Que raio deve ter a circunferência que o circunscreve, para que com a aplicação da construção descrita anteriormente se obtenha o resultado desejado?

Em uma seção anterior, a fórmula que relaciona o raio r do círculo circunscrito com o lado d de um enegon regular foi deduzida:

d = 2r cos (70º)

Resolvendo para r a partir da expressão anterior, temos:

r = d / (2 cos (70º)) = 1,4619 * d

Substituindo o valor d = 2 cm na fórmula anterior, obtém-se um raio r de 2,92 cm.

Exemplo 2

Qual é a área de um enegon regular com 2 cm de lado?

Para responder a esta pergunta, devemos nos referir à fórmula, mostrada anteriormente, que nos permite encontrar a área de um enegon conhecido pelo comprimento d de seu lado: