Um espaço vetorial é um conjunto não vazio V = { u, v, w, ……}, cujos elementos são vetores. Com eles são realizadas algumas operações importantes, entre as quais se destacam:

- Soma entre dois vectores de u + v resultante z, que pertence ao conjunto V.

- multiplicação de um número real α por um vector v: α v dando outro vector e pertencente a V.

Visão artística de um espaço vetorial. Fonte: Pixabay

Para denotar um vetor, usamos negrito (v é um vetor) e, para escalares ou números, letras gregas (α é um número).

Axiomas e propriedades

Para que um espaço vetorial seja dado, os oito axiomas a seguir devem ser válidos:

1-comutabilidade: u + v = v + u

2-Transitividade: (u + v) + w = u + (v + w)

3-Existência do vetor nulo 0 tal que 0 + v = v

4-Existência do oposto: o oposto de v é (- v), uma vez que v + (- v) = 0

5-Distributividade do produto em relação à soma do vetor: α (u + v) = α u + α v

6-Distributividade do produto em relação à soma escalar: (α + β) v = α v + β v

7-Associatividade do produto escalar: α (β v) = (α β) v

8-O número 1 é o elemento neutro, pois: 1 v = v

Exemplos de espaços vetoriais

Exemplo 1

Os vetores no plano (R²) são um exemplo de um espaço vetorial. Um vetor no plano é um objeto geométrico que possui magnitude e direção. É representado por um segmento orientado pertencente ao referido plano e com um tamanho proporcional à sua magnitude.

A soma de dois vetores no plano pode ser definida como a operação de translação geométrica do segundo vetor após o primeiro. O resultado da soma é o segmento orientado que parte da origem do primeiro e chega à ponta do segundo.

Na figura pode-se observar que a soma em R² é comutativa.

Figura 2. Vetores no plano formam o espaço vetorial. Fonte: self made.

O produto de um número α e de um vetor também é definido. Se o número for positivo, a direção do vetor original é mantida e o tamanho é α vezes o vetor original. Se o número for negativo, a direção é oposta e o tamanho do vetor resultante é o valor absoluto do número.

O vetor oposto a qualquer vetor v é - v = (- 1) v.

O vetor nulo é um ponto no plano R², e o número zero vezes um vetor fornece o vetor nulo.

Tudo o que foi dito está ilustrado na Figura 2.

Exemplo 2

O conjunto P de todos os polinômios de grau menor ou igual a dois, incluindo o grau zero, forma um conjunto que satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial.

Seja o polinômio P (x) = a x² + bx + cy Q (x) = d x² + ex + f

A soma de dois polinômios é definida: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

A soma dos polinômios pertencentes ao conjunto P é comutativa e transitiva.

O polinômio nulo pertencente ao conjunto P é aquele que tem todos os seus coeficientes iguais a zero:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

A soma de um escalar α por um polinômio é definida como: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

O polinômio oposto de P (x) é -P (x) = (-1) P (x).

De tudo o que foi dito acima, segue-se que o conjunto P de todos os polinômios de grau menor ou igual a dois é um espaço vetorial.

Exemplo 3

O conjunto M de todas as matrizes de m linhas xn colunas cujos elementos são números reais formam um espaço vetorial real, no que diz respeito às operações de adição de matrizes e produto de um número por uma matriz.

Exemplo 4

O conjunto F de funções contínuas de variável real, forma um espaço vetorial, uma vez que é possível definir a soma de duas funções, a multiplicação de um escalar por uma função, a função nula e a função simétrica. Eles também cumprem os axiomas que caracterizam um espaço vetorial.

Base e dimensão de um espaço vetorial

Base

A base de um espaço vetorial é definida como um conjunto de vetores linearmente independentes, de modo que a partir de uma combinação linear deles qualquer vetor daquele espaço vetorial pode ser gerado.

A combinação linear de dois ou mais vetores consiste em multiplicar os vetores por algum escalar e, em seguida, adicioná-los vetorialmente.

Por exemplo, no espaço vetorial de vetores em três dimensões formado por R³, utiliza-se a base canônica definida pelos vetores unitários (de magnitude 1) i, j, k.

Onde i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Esses são os vetores cartesianos ou canônicos.

Qualquer vetor V pertencente a R³ é escrito como V = a i + b j + c k, que é uma combinação linear dos vetores de base i, j, k. Um escalar ou números de a, b, c são conhecidos como componentes cartesianas de V.

Também é dito que os vetores de base de um espaço vetorial formam um conjunto gerador do espaço vetorial.

Dimensão

A dimensão de um espaço vetorial é o número cardinal de uma base vetorial para esse espaço; ou seja, o número de vetores que compõem essa base.

Este cardinal é o número máximo de vetores linearmente independentes desse espaço vetorial e, ao mesmo tempo, o número mínimo de vetores que formam um conjunto gerador desse espaço.

As bases de um espaço vetorial não são únicas, mas todas as bases do mesmo espaço vetorial têm a mesma dimensão.

Subespaço vetorial

Um subespaço vetorial S de um espaço vetorial V é um subconjunto de V no qual as mesmas operações são definidas como em V e cumpre todos os axiomas do espaço vetorial. Portanto, o subespaço S também será um espaço vetorial.

Exemplo de subespaço vetorial são os vetores que pertencem ao plano XY. Este subespaço é um subconjunto de um espaço vetorial de dimensionalidade maior que o conjunto de vetores pertencentes ao espaço tridimensional XYZ.

Outro exemplo de um subespaço vetorial S1 do espaço vetorial S formado por todas as matrizes 2 × 2 com elementos reais é definido abaixo:

Por outro lado, S2 definido abaixo, embora seja um subconjunto de S, não forma um subespaço vetorial:

Exercícios resolvidos

-Exercício 1

Sejam os vetores V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) e V3 = (0, 0, 3) em R³.

a) Mostre que eles são linearmente independentes.

b) Mostre que eles formam uma base em R³, uma vez que qualquer triplo (x, y, z) pode ser escrito como uma combinação linear de V1, V2, V3.

c) Encontre os componentes do triplo V = (-3,5,4) na base V1, V2, V3.

Solução

O critério para demonstrar a independência linear consiste em estabelecer o seguinte conjunto de equações em α, β e γ

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

No caso de a única solução para este sistema ser α = β = γ = 0 então os vetores são linearmente independentes, caso contrário, não o são.

Para obter os valores de α, β e γ, propomos o seguinte sistema de equações:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

O primeiro leva a α = 0, o segundo α = -2 ∙ β, mas como α = 0, então β = 0. A terceira equação implica que γ = (- 1/3) β, mas como β = 0 então γ = 0.

Responda para

Conclui-se que é um conjunto de vetores linearmente independentes em R³.

Resposta b

Agora vamos escrever o triplo (x, y, z) como uma combinação linear de V1, V2, V3.

(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

Onde você tem:

α = x

α + 2 β = y

β + 3 γ = z

O primeiro indica α = x, o segundo β = (yx) / 2 e o terceiro γ = (z- y / 2 + x / 2) / 3. Desta forma, encontramos os geradores de α, β e γ de qualquer trinca de R³

Resposta c

Vamos prosseguir para encontrar os componentes do triplo V = (-3,5,4) na base V1, V2, V3.

Substituímos os valores correspondentes nas expressões encontradas acima pelos geradores.

Nesse caso, temos: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

Quer dizer que:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

Por último:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Concluímos que V1, V2, V3 formam uma base no espaço vetorial R³ de dimensão 3.

-Exercício 2

Expresse o polinômio P (t) = t² + 4t -3 como uma combinação linear de P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t e P3 (t) = t + 3.

Solução

P (t) = x P1 (t) + y P2 (t) + z P3 (t)

onde os números x, y, z devem ser determinados.

Multiplicando e agrupando termos com o mesmo grau em t, obtemos:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

O que nos leva ao seguinte sistema de equações:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

As soluções deste sistema de equações são:

x = -3, y = 2, z = 4.

Quer dizer que:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

-Exercício 3

Mostre que os vetores v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) e v3 = (2, 1, -1, 1) de R⁴ são linearmente independentes.

Solução

Combinamos linearmente os três vetores v1, v2, v3 e exigimos que a combinação adicione o elemento nulo de R⁴

a v1 + b v2 + c v3 = 0

Quer dizer, a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

Isso nos leva ao seguinte sistema de equações:

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 a + b + c = 0

Subtraindo o primeiro e o quarto temos: -a + c = 0 que implica a = c.

Mas se olharmos para a terceira equação, temos que a = -c. A única maneira de a = c = (- c) ser válida é c ser 0 e, portanto, a também será 0.

a = c = 0

Se inserirmos esse resultado na primeira equação, concluiremos que b = 0.

Finalmente a = b = c = 0, de forma que pode-se concluir que os vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes.

Referências

1. Lipschutz, S. 1993. Linear algebra. Segunda edição. McGraw-Hill. 167-198.