EXPECTATIVA MATEMÁTICA: FÓRMULA, PROPRIEDADES, EXEMPLOS, EXERCÍCIO - DUDAS - 2025

A expectativa matemática ou valor esperado da variável aleatória X, é denotada como E (X) e é definida como a soma do produto entre a probabilidade de ocorrer um evento aleatório e o valor do referido evento.

Na forma matemática, é expresso da seguinte forma:

Figura 1. A expectativa matemática é amplamente utilizada no mercado de ações e em seguros. Fonte: Pixabay.

Onde x _i é o valor do evento e P (x _i) sua probabilidade de ocorrência. O somatório se estende por todos os valores que X admite. E se forem finitos, a soma indicada converge para o valor E (X), mas se a soma não convergir, então a variável simplesmente não tem valor esperado.

Quando é uma variável contínua x, a variável pode ter valores infinitos e as integrais substituem as somas:

Aqui f (x) representa a função de densidade de probabilidade.

Em geral, a expectativa matemática (que é uma média ponderada) não é igual à média aritmética ou média, a menos que estejamos lidando com distribuições discretas em que cada evento é igualmente provável. Então, e só então:

Onde n é o número de valores possíveis.

O conceito é muito útil em mercados financeiros e seguradoras, onde muitas vezes faltam certezas, mas existem probabilidades.

Propriedades da expectativa matemática

Dentre as propriedades mais importantes da expectativa matemática, destacam-se as seguintes:

- Sinal: se X for positivo, então E (X) também será positivo.

- Valor esperado de uma constante: o valor esperado de uma constante real k é a constante.

- Linearidade na soma: a expectativa de uma variável aleatória que por sua vez é a soma de duas variáveis ​​X e Y é a soma das expectativas.

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

- Multiplicação por uma constante: se a variável aleatória for do formato kX, onde k é uma constante (um número real), ela sai fora do valor esperado.

- Valor esperado do produto e independência entre as variáveis: se uma variável aleatória é o produto das variáveis ​​aleatórias X e Y, que são independentes, então o valor esperado do produto é o produto dos valores esperados.

Em geral, se Y = g (X):

- Pedido no valor esperado: se X ≤ Y, então:

Visto que existem os valores esperados de cada um deles.

A expectativa matemática nas apostas

Quando o famoso astrônomo Christian Huygens (1629-1695) não estava observando os céus, ele se dedicou a estudar, entre outras disciplinas, a probabilidade nos jogos de azar. Foi ele quem introduziu o conceito de esperança matemática em sua obra de 1656 intitulada: Raciocínio sobre jogos de azar.

Figura 2. Christiaan Huygens (1629-1625) foi um cientista brilhante e versátil, a quem devemos o conceito de valor esperado.

Huygens descobriu que as apostas podem ser classificadas de três maneiras, com base no valor esperado:

-Jogos com vantagem: E (X)> 0

- Apostas justas: E (X) = 0

-Jogo em desvantagem: E (X) <0

O problema é que, em um jogo de azar, a expectativa matemática nem sempre é fácil de calcular. E quando você pode, o resultado às vezes é decepcionante para quem se pergunta se deve ou não apostar.

Vamos tentar uma aposta simples: cara ou coroa e o perdedor paga um café de $ 1. Qual é o valor esperado desta aposta?

Bem, a probabilidade de uma cara ser lançada é ½, igual a uma coroa. A variável aleatória é ganhar $ 1 ou perder $ 1, o ganho é denotado pelo sinal + e a perda pelo sinal -.

Organizamos as informações em uma tabela:

Multiplicamos os valores das colunas: 1. ½ = ½ e (-1). ½ = -½ e finalmente os resultados são adicionados. A soma é 0 e é um jogo justo, no qual se espera que os participantes não ganhem nem percam.

A roleta francesa e a loteria são jogos com desvantagens em que a maioria dos apostadores perde. Posteriormente, há uma aposta um pouco mais complexa na seção de exercícios resolvidos.

Exemplos

Aqui estão alguns exemplos simples onde o conceito de expectativa matemática é intuitivo e esclarece o conceito:

Exemplo 1

Começaremos lançando um dado honesto. Qual é o valor esperado do lançamento? Bem, se o dado for honesto e tiver 6 caras, a probabilidade de qualquer valor (X = 1, 2, 3… 6) rolar é 1/6, assim:

E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5

Figura 3. No lançamento de um dado honesto, o valor esperado não é um valor possível. Fonte: Pixabay.

O valor esperado nesse caso é igual à média, pois cada face tem a mesma probabilidade de sair. Mas E (X) não é um valor possível, uma vez que nenhuma cara vale 3,5. Isso é perfeitamente possível em algumas distribuições, embora neste caso o resultado não ajude muito o apostador.

Vejamos outro exemplo com o lançamento de duas moedas.

Exemplo 2

Duas moedas honestas são lançadas ao ar e definimos a variável aleatória X como o número de caras que são lançadas. Os eventos que podem ocorrer são os seguintes:

-Nenhuma cara surge: 0 cara que é igual a 2 coroa.

-Sem 1 cabeça e 1 carimbo ou coroa.

-Dois rostos saem.

Seja C uma cabeça e T um selo, o espaço amostral que descreve esses eventos é o seguinte:

S _m = {Selo-Selo; Seal-Face; Face-Seal; Face-Face} = {TT, TC, CT, CC}

As probabilidades de os eventos acontecerem são:

P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼

P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½

P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼

A tabela é construída com os valores obtidos:

De acordo com a definição dada no início, a expectativa matemática é calculada como:

Substituindo valores:

E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Esse resultado é interpretado da seguinte maneira: se uma pessoa tem tempo suficiente para fazer um grande número de experimentos jogando as duas moedas, espera-se que ela receba uma cabeça em cada lance.

No entanto, sabemos que lançamentos com 2 rótulos são perfeitamente possíveis.

Exercício resolvido

No lance de duas moedas honestas, a seguinte aposta é feita: se 2 caras saírem você ganha $ 3, se 1 cara sair você ganha $ 1, mas se saírem dois selos você tem que pagar $ 5. Calcule o ganho esperado da aposta.

Figura 4. Dependendo da aposta, a expectativa matemática muda ao jogar duas moedas honestas. Fonte: Pixabay.

Solução

A variável aleatória X são os valores que o dinheiro leva na aposta e as probabilidades foram calculadas no exemplo anterior, portanto a mesa da aposta é:

E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0

Como o valor esperado é 0, este é um jogo justo, portanto, aqui se espera que o apostador não ganhe nem perca. No entanto, os montantes da aposta podem ser alterados para tornar a aposta um jogo com handicap ou um jogo com handicap.

Referências

1. Brase, C. 2009. Estatísticas compreensíveis. Houghton Mifflin.
2. Olmedo, F. Introdução ao conceito de valor esperado ou expectativa matemática de uma variável aleatória. Recuperado de: personal.us.es.
3. Estatísticas LibreTexts. Valor esperado de variáveis ​​aleatórias discretas. Recuperado de: stats.libretexts.org.
4. Triola, M. 2010. Elementary Statistics. 11º. Ed. Addison Wesley.
5. Walpole, R. 2007. Probabilidade e Estatística para Ciência e Engenharia. 8º. Edição. Pearson Education.