FATOR COMUM POR AGRUPAMENTO DE TERMOS: EXEMPLOS, EXERCÍCIOS - MATEMÁTICAS - 2025

O fator comum por agrupamento de termos é um procedimento algébrico que permite escrever algumas expressões algébricas na forma de fatores. Para atingir esse objetivo, você deve primeiro agrupar a expressão de forma adequada e observar que cada grupo assim formado possui, de fato, um fator comum.

Aplicar a técnica corretamente requer alguma prática, mas em nenhum momento você a domina. Vejamos primeiro um exemplo ilustrativo descrito passo a passo. Em seguida, o leitor pode aplicar o que aprendeu em cada um dos exercícios que aparecerão mais tarde.

Figura 1. Pegar um fator comum agrupando termos facilita o trabalho com expressões algébricas. Fonte: Pixabay.

Por exemplo, suponha que você precise fatorar a seguinte expressão:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Esta expressão algébrica consiste em 4 monômios ou termos, separados por sinais + e -, a saber:

2x ², 2xy, -3zx, -3zy

Olhando mais de perto, x é comum às três primeiras, mas não à última, enquanto y é comum à segunda e à quarta ez é comum à terceira e à quarta.

Portanto, em princípio não existe um fator comum aos quatro termos ao mesmo tempo, mas se eles forem agrupados como será mostrado na próxima seção, é possível que apareça um que ajude a escrever a expressão como o produto de dois ou mais fatores.

Exemplos

Fatore a expressão: 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Etapa 1: Grupo

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

Etapa 2: Encontre o fator comum de cada grupo

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x ² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x + y) - 3z (x + y)

I mportante: o sinal negativo também é um fator comum que deve ser levado em conta.

Agora observe que os parênteses (x + y) se repetem nos dois termos obtidos por agrupamento. Esse é o fator comum que estava sendo buscado.

Etapa 3: fatorar a expressão inteira

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)

Com o resultado anterior, o objetivo da fatoração foi alcançado, que nada mais é do que transformar uma expressão algébrica baseada em adições e subtrações de termos, no produto de dois ou mais fatores, em nosso exemplo, de: (x + y) e (2x - 3z).

Perguntas importantes sobre o fator comum por agrupamento

Questão 1: Como saber se o resultado está correto?

Resposta: A propriedade distributiva é aplicada ao resultado obtido e após redução e simplificação, a expressão assim obtida deve coincidir com a original, caso contrário, há erro.

No exemplo anterior, trabalhamos ao contrário com o resultado, para verificar se está correto:

(x + y) (2x - 3z) = 2x ² -3zx + 2xy - 3zy

Como a ordem dos adendos não altera a soma, após a aplicação da propriedade distributiva todos os termos originais são devolvidos, incluindo os sinais, portanto, a fatoração está correta.

Questão 2: poderia ter sido agrupado de outra maneira?

Resposta: Existem expressões algébricas que permitem mais de uma forma de agrupamento e outras que não. No exemplo selecionado, o leitor pode tentar outras possibilidades por conta própria, por exemplo agrupando assim:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² - 3zx) + (2xy - 3zy)

E você pode verificar se o resultado é o mesmo que foi obtido aqui Encontrar o agrupamento ideal é uma questão de prática.

Questão 3: Por que é necessário obter um fator comum de uma expressão algébrica?

Resposta: Porque existem aplicações onde a expressão fatorada torna os cálculos mais fáceis. Por exemplo, suponha que você queira definir 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy igual a 0. Quais são as possibilidades?

Para responder a essa pergunta, a versão fatorada é muito mais útil do que o desenvolvimento original em termos. É afirmado assim:

(x + y) (2x - 3z) = 0

Uma possibilidade de que a expressão valha 0 é que x = -y, independentemente do valor de z. E a outra é que x = (3/2) z, independentemente do valor de y.

Exercícios

- Exercício 1

Extraia o fator comum da seguinte expressão por agrupamento de termos:

ax + ay + bx + por

Solução

Os dois primeiros são agrupados, com o fator comum "a" e os dois últimos com o fator comum "b":

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y)

Feito isso, um novo fator comum é revelado, que é (x + y), de modo que:

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

Outra forma de agrupar

Esta expressão suporta outra forma de agrupamento. Vamos ver o que acontece se os termos forem reorganizados e um grupo for formado com aqueles que contêm x e outro com aqueles que contêm y:

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b)

Desta forma, o novo fator comum é (a + b):

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)

O que leva ao mesmo resultado do primeiro agrupamento que foi testado.

- Exercício 2

A seguinte expressão algébrica deve ser escrita como o produto de dois fatores:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ²

Solução

Esta expressão contém 6 termos. Vamos tentar agrupar primeiro e quarto, segundo e terceiro e finalmente quinto e sexto:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ² = (3a ³ -a ²) + (- 3a ² b + 9ab ²) + (ab-3b ²)

Agora, cada parêntese é fatorado:

= (3a ³ -a ²) + (- 3a ² b + 9ab ²) + (ab -3b ²) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b)

À primeira vista parece que a situação está complicada, mas o leitor não deve desanimar, pois iremos reescrever o último termo:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)

Os dois últimos termos agora têm um fator comum, que é (3b-a), portanto, podem ser fatorados. É muito importante não perder de vista o primeiro termo a ² (3a - 1), que deve continuar a acompanhar tudo como um acréscimo, mesmo que você não esteja trabalhando com ele:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)

A expressão foi reduzida a dois termos e um novo fator comum é descoberto no último, que é "b". Agora resta:

a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b) = a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1)

O próximo fator comum a aparecer é 3a - 1:

a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1) = (3a - 1)

Ou se preferir sem colchetes:

(3a - 1) = (3a - 1) (a ² –ab + 3b ²)

O leitor pode encontrar outra forma de agrupamento que leve a esse mesmo resultado?

Figura 2. Exercícios de factoring propostos. Fonte: F. Zapata.

Referências

1. Baldor, A. 1974. Elementary Algebra. Cultural Venezolana SA
2. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
3. Principais casos de factoring. Recuperado de: julioprofe.net.
4. UNAM. Matemática Básica: Fatoração por agrupamento de termos. Faculdade de Contabilidade e Administração.
5. Zill, D. 1984. Algebra and Trigonometry. MacGraw Hill.