- Como você faz uma função bijetiva?
- Injetividade de uma função
- Surjetividade de uma função
- Condicionamento de função
- Exemplos: exercícios resolvidos
- Exercício 1
- Exercício 2
- Exercício 3
- Exercício 4
- Exercícios propostos
- Referências
Uma função bijetiva é aquela que atende à dupla condição de ser injetiva e sobrejetiva. Ou seja, todos os elementos do domínio possuem uma única imagem no codomínio e, por sua vez, o codomínio é igual ao posto da função (R f).
Ele é realizado considerando uma relação um-para-um entre os elementos do domínio e do codomínio. Um exemplo simples é a função F: R → R definida pela linha F (x) = x
Fonte: Autor
Observa-se que para cada valor do domínio ou conjunto inicial (ambos os termos se aplicam igualmente) existe uma única imagem no codomínio ou conjunto de chegada. Além disso, não há nenhum elemento do codomínio além da imagem.
Desta forma F: R → R definido pela reta F (x) = x é bijetivo
Como você faz uma função bijetiva?
Para responder é necessário ter clareza sobre os conceitos relativos à Injetividade e Sobrejetividade de uma função, bem como os critérios de condicionamento das funções de forma a adaptá-las aos requisitos.
Injetividade de uma função
Uma função é injetiva quando cada um dos elementos de seu domínio está relacionado a um único elemento do codomínio. Um elemento do codomínio só pode ser a imagem de um único elemento do domínio, dessa forma os valores da variável dependente não podem ser repetidos.
Para considerar uma função injetiva, o seguinte deve ser atendido:
∀ x 1 ≠ x 2 ⇒ F (x 1) ≠ F (x 2)
Surjetividade de uma função
Uma função é classificada como sobrejetiva se cada elemento de seu codomínio for uma imagem de pelo menos um elemento do domínio.
Para considerar uma sobrejetiva de função, o seguinte deve ser cumprido:
Seja F: D f → C f
∀ b ℮ C f E a ℮ D f / F (a) = b
Esta é a maneira algébrica de estabelecer que para cada “b” que pertence a C f existe um “a” que pertence a D f tal que a função avaliada em “a” é igual a “b”.
Condicionamento de função
Às vezes, uma função que não é bijetiva pode estar sujeita a certas condições. Essas novas condições podem torná-lo uma função bijetiva. Todos os tipos de modificações no domínio e no codomínio da função são válidos, onde o objetivo é cumprir as propriedades de injetividade e sobrejetividade na relação correspondente.
Exemplos: exercícios resolvidos
Exercício 1
Deixe a função F: R → R ser definida pela linha F (x) = 5x +1
UMA:
Observa-se que para cada valor do domínio existe uma imagem no codomínio. Esta imagem é única, o que torna F uma função injetiva. Da mesma forma, observamos que o codomínio da função é igual ao seu posto. Cumprindo assim a condição de sobrejetividade.
Sendo injetivo e sobrejetivo ao mesmo tempo, podemos concluir que
F: R → R definido pela linha F (x) = 5x +1 é uma função bijetiva.
Isso se aplica a todas as funções lineares (funções cujo grau mais alto da variável é um).
Exercício 2
Deixe a função F: R → R ser definida por F (x) = 3x 2 - 2
Ao traçar uma linha horizontal, observa-se que o gráfico é encontrado em mais de uma ocasião. Devido a isso a função F não é injetivo e, portanto, não será bijective como desde que seja definido em R → R
Da mesma forma, existem valores de codomínio que não são imagens de nenhum elemento do domínio. Por isso, a função não é sobrejetora, o que também merece condicionar o conjunto de chegada.
Prosseguimos para condicionar o domínio e codomínio da função
F: →
Onde se observa que o novo domínio cobre os valores de zero a infinito positivo. Evitando a repetição de valores que afetam a injetividade.
Da mesma forma, o codomínio foi modificado, contando de "-2" ao infinito positivo, eliminando do codomínio os valores que não correspondiam a nenhum elemento do domínio
Desta forma, pode ser garantido que F : → definido por F (x) = 3x 2 - 2
É bijetivo
Exercício 3
Deixe a função F: R → R ser definida por F (x) = Sen (x)
No intervalo, a função seno varia seus resultados entre zero e um.
Fonte: Autor.
A função F não corresponde aos critérios de injetividade e sobrejetividade, pois os valores da variável dependente se repetem a cada intervalo de π. Além disso, os termos do codomínio fora do intervalo não são uma imagem de nenhum elemento do domínio.
Ao estudar o gráfico da função F (x) = Sen (x), observam-se intervalos onde o comportamento da curva atende aos critérios de bijetividade. Como por exemplo o intervalo D f = para o domínio. E C f = para o codomínio.
Onde a função varia resulta de 1 a -1, sem repetir nenhum valor na variável dependente. E ao mesmo tempo o codomínio é igual aos valores adotados pela expressão Sen (x)
Assim, a função F: → definida por F (x) = Sen (x). É bijetivo
Exercício 4
Indique as condições necessárias para D f e C f. Então a expressão
F (x) = -x 2 seja bijetivo.
Fonte: Autor
A repetição dos resultados é observada quando a variável assume valores opostos:
F (2) = F (-2) = -4
F (3) = F (-3) = -9
F (4) = F (-4) = -16
O domínio é condicionado, limitando-se ao lado direito da linha real.
D f =
Da mesma forma, observa-se que o alcance dessa função é o intervalo, que ao atuar como codomínio cumpre as condições de sobrejetividade.
Desta forma, podemos concluir que
A expressão F: → definida por F (x) = -x 2 É bijetiva
Exercícios propostos
Verifique se as seguintes funções são bijetivas:
F: → R definido por F (x) = 5ctg (x)
F: → R definido por F (x) = Cos (x - 3)
F: R → R definido pela linha F (x) = -5x + 4
Referências
- Introdução à lógica e ao pensamento crítico. Merrilee H. Salmon. Universidade de Pittsburgh
- Problemas em Análise Matemática. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Universidade de Wroclaw. Polônia.
- Elementos de análise abstrata. Mícheál O'Searcoid PhD. Departamento de matemática. Faculdade universitária Dublin, Beldfield, Dublind 4
- Introdução à Lógica e à Metodologia das Ciências Dedutivas. Alfred Tarski, New York Oxford. Imprensa da Universidade de Oxford.
- Princípios de análise matemática. Enrique Linés Escardó. Editorial Reverté S. A 1991. Barcelona Espanha.