GEOMETRIA EUCLIDIANA: HISTÓRIA, CONCEITOS BÁSICOS E EXEMPLOS - MATEMÁTICAS - 2025

A geometria euclidiana corresponde ao estudo das propriedades dos espaços geométricos onde os axiomas de Euclides são satisfeitos. Embora esse termo às vezes seja usado para abranger geometrias que têm dimensões mais altas com propriedades semelhantes, geralmente é sinônimo de geometria clássica ou geometria plana.

No século III a. C. Euclides e seus discípulos escreveram os Elementos, obra que abarcava o conhecimento matemático da época dotado de uma estrutura lógico-dedutiva. A partir de então, a geometria tornou-se uma ciência, inicialmente para resolver problemas clássicos e evoluiu para uma ciência formativa que auxilia a razão.

História

Para falar sobre a história da geometria euclidiana, é essencial começar com Euclides de Alexandria e os Elementos.

Quando o Egito foi deixado nas mãos de Ptolomeu I, após a morte de Alexandre o Grande, ele iniciou seu projeto em uma escola em Alexandria.

Entre os sábios que ensinavam na escola estava Euclides. Especula-se que seu nascimento data de aproximadamente 325 AC. C. e sua morte de 265 a. C. Podemos saber com certeza que ele foi para a escola de Platão.

Por mais de trinta anos, Euclides ensinou em Alexandria, construindo seus famosos elementos: ele começou a escrever uma descrição exaustiva da matemática de seu tempo. Os ensinamentos de Euclides produziram discípulos excelentes, como Arquimedes e Apolônio de Perga.

Euclides foi o encarregado de estruturar as descobertas díspares dos antigos gregos nos Elementos, mas, ao contrário de seus predecessores, ele não se limita a afirmar que um teorema é verdadeiro; Euclides oferece uma demonstração.

The Elements é um compêndio de treze livros. Depois da Bíblia, é o livro mais publicado, com mais de mil edições.

Elementos de Euclides

Os Elementos é a obra-prima de Euclides no campo da geometria, e oferece um tratamento definitivo da geometria bidimensional (plana) e tridimensional (espacial), sendo esta a origem do que hoje conhecemos como geometria euclidiana..

Conceitos básicos

Os elementos são compostos por definições, noções comuns e postulados (ou axiomas) seguidos de teoremas, construções e provas.

- Um ponto é aquele que não tem partes.

- Uma linha é um comprimento sem largura.

- Uma linha reta é aquela que se encontra igualmente em relação aos pontos que estão nela.

- Se duas linhas são cortadas de forma que os ângulos adjacentes sejam iguais, os ângulos são chamados de linhas retas e as linhas são chamadas de perpendiculares.

- Linhas paralelas são aquelas que, estando no mesmo plano, nunca se cruzam.

Após essas e outras definições, Euclides nos apresenta uma lista de cinco postulados e cinco noções.

Noções comuns

- Duas coisas que são iguais a um terço são iguais uma à outra.

- Se as mesmas coisas forem adicionadas às mesmas coisas, os resultados são os mesmos.

- Se coisas iguais são subtraídas coisas iguais, os resultados são iguais.

- Coisas que combinam são iguais umas às outras.

- O total é maior do que uma parte.

Postulados ou axiomas

- Uma e apenas uma linha passa por dois pontos diferentes.

- As linhas retas podem ser estendidas indefinidamente.

- Você pode desenhar um círculo com qualquer centro e qualquer raio.

- Todos os ângulos retos são iguais.

- Se uma linha reta cruza duas linhas retas de modo que os ângulos internos do mesmo lado somam menos de dois ângulos retos, então as duas linhas se cruzarão nesse lado.

Este último postulado é conhecido como postulado paralelo e foi reformulado da seguinte forma: "Para um ponto fora de uma linha, um único paralelo à linha dada pode ser traçado."

Exemplos

A seguir, alguns teoremas dos Elementos servirão para mostrar propriedades de espaços geométricos onde os cinco postulados de Euclides são cumpridos; Além disso, eles ilustrarão o raciocínio lógico-dedutivo usado por este matemático.

Primeiro exemplo

Proposição 1.4. (LAL)

Se dois triângulos têm dois lados e o ângulo entre eles é igual, os outros lados e os outros ângulos são iguais.

Demonstração

Sejam ABC e A'B'C 'dois triângulos com AB = A'B', AC = A'C 'e os ângulos BAC e B'A'C' iguais. Vamos mover o triângulo A'B'C 'de forma que A'B' coincida com AB e que o ângulo B'A'C 'coincida com o ângulo BAC.

Portanto, a linha A'C 'coincide com a linha AC, então C' coincide com C. Então, pelo postulado 1, a linha BC deve coincidir com a linha B'C '. Portanto, os dois triângulos coincidem e, conseqüentemente, seus ângulos e seus lados são iguais.

Segundo exemplo

Proposição 1.5. (

Suponha que o triângulo ABC tenha lados iguais AB e AC.

Portanto, os triângulos ABD e ACD têm dois lados iguais e os ângulos entre eles são iguais. Assim, pela Proposição 1.4, os ângulos ABD e ACD são iguais.

Terceiro exemplo

Proposição 1.31

Você pode construir uma linha paralela a uma linha dada por um determinado ponto.

Construção

Dada uma linha L e um ponto P, uma linha M é desenhada através de P e intercepta L. Em seguida, uma linha N é desenhada através de P que intercepta L. Agora, uma linha N é desenhada através de P, que intercepta M, formando um ângulo igual ao que L forma com M.

Afirmação

N é paralelo a L.

Demonstração

Suponha que L e N não sejam paralelos e se cruzem em um ponto A. Seja B um ponto em L além de A. Vamos considerar a linha O que passa por B e P. Então, O cruza M em ângulos que somam menos de dois em linha reta.

Então, por 1,5, a linha O deve interceptar a linha L no outro lado de M, então L e O se interceptam em dois pontos, o que contradiz o postulado 1. Portanto, L e N devem ser paralelos.

Referências

1. Euclides, Elementos de Geometria. Universidade Nacional Autônoma do México
2. Euclides. Os primeiros seis livros e o décimo primeiro e décimo segundo dos elementos de Euclides
3. Eugenio Filloy Yague. Didática e história da geometria euclidiana, Grupo Editorial Iberoamericano
4. K. Ribnikov. História da Matemática. Mir Editorial
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Plane Analytical Geometry. Editorial Venezolana CA