O gradiente de potencial é um vetor que representa a taxa de variação do potencial elétrico em relação à distância em cada eixo de um sistema de coordenadas cartesianas. Assim, o vetor gradiente de potencial indica a direção em que a taxa de variação do potencial elétrico é maior, em função da distância.
Por sua vez, o módulo do gradiente de potencial reflete a taxa de variação da variação do potencial elétrico em uma determinada direção. Se o valor disso for conhecido em cada ponto de uma região espacial, o campo elétrico pode ser obtido a partir do gradiente de potencial.
O campo elétrico é definido como um vetor, portanto tem direção e magnitude específicas. Ao determinar a direção em que o potencial elétrico diminui mais rapidamente - afastando-se do ponto de referência - e dividindo esse valor pela distância percorrida, obtém-se a magnitude do campo elétrico.
Caracteristicas
O gradiente de potencial é um vetor delimitado por coordenadas espaciais específicas, que mede a relação de variação entre o potencial elétrico e a distância percorrida por esse potencial.
As características mais marcantes do gradiente de potencial elétrico são detalhadas a seguir:
1- O gradiente de potencial é um vetor. Portanto, tem uma magnitude e direção específicas.
2- Como o gradiente de potencial é um vetor no espaço, ele tem magnitudes direcionadas nos eixos X (largura), Y (altura) e Z (profundidade), se for tomado como referência o sistema de coordenadas cartesianas.
3- Este vetor é perpendicular à superfície equipotencial no ponto onde o potencial elétrico é avaliado.
4- O vetor gradiente de potencial é direcionado para a direção de variação máxima da função potencial elétrico em qualquer ponto.
5- O módulo do gradiente de potencial é igual à derivada da função potencial elétrico em relação à distância percorrida na direção de cada um dos eixos do sistema de coordenadas cartesianas.
6- O gradiente potencial tem valor zero nos pontos estacionários (máximos, mínimos e pontos de sela).
7- No sistema internacional de unidades (SI), as unidades de medida do gradiente de potencial são volts / metros.
8- A direção do campo elétrico é a mesma em que o potencial elétrico diminui sua magnitude mais rapidamente. Por sua vez, o gradiente potencial aponta na direção em que o valor potencial aumenta em relação a uma mudança na posição. Portanto, o campo elétrico tem o mesmo valor do gradiente de potencial, mas com o sinal oposto.
Como calcular?
A diferença de potencial elétrico entre dois pontos (ponto 1 e ponto 2), é dada pela seguinte expressão:
Onde:
V1: potencial elétrico no ponto 1.
V2: potencial elétrico no ponto 2.
E: magnitude do campo elétrico.
Ѳ: ângulo de inclinação do vetor campo elétrico medido em relação ao sistema de coordenadas.
Ao expressar esta fórmula diferencialmente, o seguinte:
O fator E * cos (Ѳ) refere-se ao módulo do componente do campo elétrico na direção de dl. Seja L o eixo horizontal do plano de referência, então cos (Ѳ) = 1, assim:
Daqui em diante, o quociente entre a variação do potencial elétrico (dV) e a variação da distância percorrida (ds) é o módulo do gradiente de potencial para o referido componente.
Daí se segue que a magnitude do gradiente de potencial elétrico é igual à componente do campo elétrico na direção do estudo, mas com o sinal oposto.
No entanto, como o ambiente real é tridimensional, o gradiente potencial em um determinado ponto deve ser expresso como a soma de três componentes espaciais nos eixos X, Y e Z do sistema cartesiano.
Ao quebrar o vetor de campo elétrico em seus três componentes retangulares, temos o seguinte:
Se houver uma região do plano em que o potencial elétrico tenha o mesmo valor, a derivada parcial deste parâmetro em relação a cada uma das coordenadas cartesianas será zero.
Assim, em pontos que estão em superfícies equipotenciais, a intensidade do campo elétrico terá magnitude zero.
Finalmente, o vetor gradiente de potencial pode ser definido exatamente como o mesmo vetor de campo elétrico (em magnitude), com o sinal oposto. Assim nós temos o seguinte:
Exemplo
Dos cálculos anteriores, é necessário:
No entanto, antes de determinar o campo elétrico em função do gradiente de potencial, ou vice-versa, deve-se primeiro determinar qual é a direção em que a diferença de potencial elétrico cresce.
Depois disso, é determinado o quociente da variação do potencial elétrico e a variação da distância líquida percorrida.
Desta forma, obtém-se a magnitude do campo elétrico associado, que é igual à magnitude do gradiente de potencial naquela coordenada.
Exercício
Existem duas placas paralelas, conforme refletido na figura a seguir.
Passo 1
A direção de crescimento do campo elétrico é determinada no sistema de coordenadas cartesianas.
O campo elétrico cresce apenas na direção horizontal, dada a disposição das placas paralelas. Conseqüentemente, é possível deduzir que os componentes do gradiente potencial no eixo Y e no eixo Z são zero.
Passo 2
Os dados de interesse são discriminados.
- Diferença de potencial: dV = V2 - V1 = 90 V - 0 V => dV = 90 V.
- Diferença de distância: dx = 10 centímetros.
Para garantir a congruência das unidades de medida utilizadas de acordo com o Sistema Internacional de Unidades, as grandezas que não são expressas em SI devem ser convertidas de acordo. Assim, 10 centímetros equivalem a 0,1 metros e, finalmente: dx = 0,1 m.
etapa 3
Calcule a magnitude do vetor gradiente potencial conforme apropriado.
Referências
- Eletricidade (1998). Encyclopædia Britannica, Inc. Londres, Reino Unido. Recuperado de: britannica.com
- Gradiente potencial (sf). Universidade Nacional Autônoma do México. México DF, México. Recuperado de: professors.dcb.unam.mx
- Interação elétrica. Recuperado de: matematicasypoesia.com.es
- Gradiente potencial (sf). Recuperado de: circuitglobe.com
- Relação entre potencial e campo elétrico (sf). Instituto Tecnológico da Costa Rica. Cartago, Costa Rica. Recuperado de: repositoriotec.tec.ac.cr
- Wikipedia, The Free Encyclopedia (2018). Gradiente. Recuperado de: es.wikipedia.org