HOMOCEDASTICIDADE: O QUE É, IMPORTÂNCIA E EXEMPLOS - DUDAS - 2025

A homocedasticidade em um modelo estatístico preditivo ocorre se todos os grupos de dados de uma ou mais observações, o padrão de variância (ou independente) em relação às variáveis ​​explicativas permanecem constantes.

Um modelo de regressão pode ser homocedástico ou não, caso em que falamos de heterocedasticidade.

Figura 1. Cinco conjuntos de dados e ajuste de regressão do conjunto. A variação em relação ao valor previsto é a mesma em cada grupo. (upav-biblioteca.org)

Um modelo de regressão estatística de várias variáveis ​​independentes é denominado homocedástico, apenas se a variância do erro da variável prevista (ou o desvio padrão da variável dependente) permanecer uniforme para diferentes grupos de valores das variáveis ​​explicativas ou independentes.

Nos cinco grupos de dados da Figura 1, foi calculada a variância em cada grupo, em relação ao valor estimado pela regressão, sendo o mesmo em cada grupo. Além disso, é assumido que os dados seguem a distribuição normal.

No nível gráfico, isso significa que os pontos estão igualmente espalhados ou espalhados em torno do valor predito pelo ajuste de regressão, e que o modelo de regressão tem o mesmo erro e validade para o intervalo da variável explicativa.

Importância da homocedasticidade

Para ilustrar a importância da homocedasticidade nas estatísticas preditivas, é necessário contrastar com o fenômeno oposto, a heterocedasticidade.

Homocedasticidade versus heterocedasticidade

No caso da figura 1, em que há homocedasticidade, é verdade que:

Var ((y1-Y1); X1) ≈ Var ((y2-Y2); X2) ≈ …… Var ((y4-Y4); X4)

Onde Var ((yi-Yi); Xi) representa a variância, o par (xi, yi) representa os dados do grupo i, enquanto Yi é o valor previsto pela regressão para o valor médio Xi do grupo. A variação dos n dados do grupo i é calculada da seguinte forma:

Var ((yi-Yi); Xi) = ∑j (yij - Yi) ^ 2 / n

Ao contrário, quando ocorre heterocedasticidade, o modelo de regressão pode não ser válido para toda a região em que foi calculado. A Figura 2 mostra um exemplo dessa situação.

Figura 2. Grupo de dados mostrando heterocedasticidade. (Elaboração própria)

A Figura 2 representa três grupos de dados e o ajuste do conjunto usando uma regressão linear. Deve-se notar que os dados do segundo e terceiro grupos são mais dispersos do que no primeiro grupo. O gráfico da Figura 2 também mostra o valor médio de cada grupo e sua barra de erro ± σ, com o desvio padrão σ de cada grupo de dados. Deve ser lembrado que o desvio padrão σ é a raiz quadrada da variância.

É claro que no caso da heterocedasticidade, o erro de estimativa de regressão está mudando na faixa de valores da variável explicativa ou independente, e nos intervalos onde esse erro é muito grande, a previsão de regressão não é confiável ou não aplicável.

Em um modelo de regressão, os erros ou resíduos (e -Y) devem ser distribuídos com igual variância (σ ^ 2) ao longo do intervalo de valores da variável independente. É por esta razão que um bom modelo de regressão (linear ou não linear) deve passar no teste de homocedasticidade.

Testes de homocedasticidade

Os pontos mostrados na figura 3 correspondem aos dados de um estudo que busca uma relação entre os preços (em dólares) das casas em função do tamanho ou área em metros quadrados.

O primeiro modelo a ser testado é o de uma regressão linear. Em primeiro lugar, nota-se que o coeficiente de determinação R ^ 2 do ajuste é bastante alto (91%), portanto, pode-se pensar que o ajuste é satisfatório.

No entanto, duas regiões podem ser claramente distinguidas do gráfico de ajuste. Um deles, o da direita encerrado em oval, cumpre homocedasticidade, enquanto a região da esquerda não apresenta homocedasticidade.

Isso significa que a previsão do modelo de regressão é adequada e confiável na faixa de 1800 m ^ 2 a 4800 m ^ 2, mas muito inadequada fora desta região. Na zona heterocedástica, além de o erro ser muito grande, os dados parecem seguir uma tendência diferente daquela proposta pelo modelo de regressão linear.

Figura 3. Preço da habitação vs área e modelo preditivo por regressão linear, mostrando zonas de homocedasticidade e heterocedasticidade. (Elaboração própria)

O gráfico de dispersão dos dados é o teste mais simples e visual de sua homocedasticidade, porém, nas ocasiões em que não é tão evidente como no exemplo mostrado na figura 3, é necessário recorrer a gráficos com variáveis ​​auxiliares.

Variáveis ​​padronizadas

Para separar as áreas onde a homocedasticidade é cumprida e onde não é, são introduzidas as variáveis ​​padronizadas ZRes e ZPred:

ZRes = Abs (y - Y) / σ

ZPred = Y / σ

Ressalta-se que essas variáveis ​​dependem do modelo de regressão aplicado, pois Y é o valor da previsão da regressão. Abaixo está o gráfico de dispersão ZRes vs ZPred para o mesmo exemplo:

Figura 4. Deve-se notar que na zona de homocedasticidade o ZRes permanece uniforme e pequeno na região de predição (Elaboração própria).

No gráfico da Figura 4 com as variáveis ​​padronizadas, a área onde o erro residual é pequeno e uniforme é claramente separada da área onde não é. Na primeira zona, a homocedasticidade é atendida, enquanto na região onde o erro residual é altamente variável e grande, a heterocedasticidade é atendida.

O ajuste de regressão é aplicado ao mesmo grupo de dados da figura 3, neste caso o ajuste é não linear, pois o modelo utilizado envolve uma função potencial. O resultado é mostrado na figura a seguir:

Figura 5. Novas zonas de homocedasticidade e heterocedasticidade no ajuste de dados com um modelo de regressão não linear. (Elaboração própria).

No gráfico da Figura 5, as áreas homocedásticas e heterocedásticas devem ser claramente notadas. Deve-se notar também que essas zonas foram trocadas em relação àquelas que foram formadas no modelo de ajuste linear.

No gráfico da Figura 5 fica evidente que mesmo quando existe um coeficiente de determinação do ajuste bastante elevado (93,5%), o modelo não é adequado para todo o intervalo da variável explicativa, uma vez que os dados para valores maior que 2.000 m ^ 2 apresentam heterocedasticidade.

Testes não gráficos de homocedasticidade

Um dos testes não gráficos mais utilizados para verificar se a homocedasticidade é atendida ou não é o teste de Breusch-Pagan.

Nem todos os detalhes deste teste serão fornecidos neste artigo, mas suas características fundamentais e as etapas do mesmo são resumidas de forma geral:

1. O modelo de regressão é aplicado aos n dados e a variância dos mesmos é calculada em relação ao valor estimado pelo modelo σ ^ 2 = ∑j (yj - Y) ^ 2 / n.
2. Uma nova variável é definida ε = ((yj - Y) ^ 2) / (σ ^ 2)
3. O mesmo modelo de regressão é aplicado à nova variável e seus novos parâmetros de regressão são calculados.
4. O valor crítico Chi quadrado (χ ^ 2) é determinado, sendo este a metade da soma dos quadrados novos resíduos na variável ε.
5. A tabela de distribuição de qui quadrado é usada considerando o nível de significância (geralmente 5%) e o número de graus de liberdade (# de variáveis ​​de regressão menos a unidade) no eixo x da tabela, para obter o valor de A tabela.
6. O valor crítico obtido no passo 3 é comparado com o valor encontrado na tabela (χ ^ 2).
7. Se o valor crítico for inferior ao da tabela, temos a hipótese nula: há homocedasticidade
8. Se o valor crítico estiver acima do da tabela, temos a hipótese alternativa: não há homocedasticidade.

A maioria dos pacotes de software estatístico como: SPSS, MiniTab, R, Python Pandas, SAS, StatGraphic e vários outros incorporam o teste de homocedasticidade Breusch-Pagan. Outro teste para verificar a uniformidade de variância é o teste de Levene.

Referências

1. Box, Hunter e Hunter. (1988) Estatísticas para pesquisadores. Eu inverti editores.
2. Johnston, J (1989). Métodos econométricos, Vicens -Vives editores.
3. Murillo e González (2000). Manual de Econometria. Universidade de Las Palmas de Gran Canaria. Recuperado de: ulpgc.es.
4. Wikipedia. Homocedasticidade. Recuperado de: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Homocedasticidade. Recuperado de: en.wikipedia.com