HOMOTECIDADE: PROPRIEDADES, TIPOS E EXEMPLOS - MATEMÁTICAS - 2025

A dilatação é uma mudança geométrica no plano que, a partir de um ponto fixo denominado centro (O), as distâncias são multiplicadas por um fator comum. Desta forma, cada ponto P corresponde a outro ponto P 'produto da transformação, e estes são alinhados com o ponto O.

Assim, a homotecia é uma correspondência entre duas figuras geométricas, onde os pontos transformados são chamados de homotéticos, e estes estão alinhados com um ponto fixo e com segmentos paralelos entre si.

Homotecia

Homotecy é uma transformação que não possui uma imagem congruente, pois a partir de uma figura serão obtidas uma ou mais figuras de maior ou menor tamanho que a figura original; isto é, essa homotecia transforma um polígono em outro semelhante.

Para que a homotecia seja cumprida, ponto a ponto e linha a linha devem corresponder, de modo que os pares de pontos homólogos estejam alinhados com um terceiro ponto fixo, que é o centro da homotecia.

Da mesma forma, os pares de linhas que os unem devem ser paralelos. A relação entre esses segmentos é uma constante chamada razão de homotecidade (k); de tal forma que a homotecidade pode ser definida como:

Para realizar este tipo de transformação, começamos por escolher um ponto arbitrário, que será o centro da homotecia.

A partir deste ponto, segmentos de linha são desenhados para cada vértice da figura a ser transformada. A escala em que é feita a reprodução da nova figura é dada pela razão de homotecia (k).

Propriedades

Uma das principais propriedades da homotecia é que, pela razão homotética (k), todas as figuras homotéticas são semelhantes. Entre outras propriedades pendentes estão as seguintes:

- O centro da homotecia (O) é o único ponto duplo e este se transforma em si mesmo; ou seja, não varia.

- As linhas que passam pelo centro transformam-se em si mesmas (são duplas), mas os pontos que as compõem não são duplos.

- As linhas que não passam pelo centro são transformadas em linhas paralelas; desta forma, os ângulos de homotecia permanecem os mesmos.

- A imagem de um segmento por homotecia de centro O e razão k, é um segmento paralelo a este e tem k vezes o seu comprimento. Por exemplo, como pode ser visto na imagem a seguir, um segmento AB por homotecidade resultará em outro segmento A'B ', de modo que AB será paralelo a A'B' e k será:

- Os ângulos homotéticos são congruentes; ou seja, eles têm a mesma medida. Portanto, a imagem de um ângulo é um ângulo que tem a mesma amplitude.

Por outro lado, temos que a homotecia varia em função do valor de sua razão (k), podendo ocorrer os seguintes casos:

- Se a constante k = 1, todos os pontos são fixos porque se transformam. Assim, a figura homotética coincide com a original e a transformação será chamada de função de identidade.

- Se k ≠ 1, o único ponto fixo será o centro da homotética (O).

- Se k = -1, a homotecia torna-se uma simetria central (C); ou seja, ocorrer uma rotação em torno de C, em um ângulo de 180 ^ou.

- Se k> 1, o tamanho da figura transformada será maior que o tamanho do original.

- Se 0 <k <1, o tamanho da figura transformada será menor que o original.

- Se -1 <k <0, o tamanho da figura transformada será menor e será girada em relação ao original.

- Se k <-1, o tamanho da figura transformada será maior e será girada em relação ao original.

Tipos

A homotecia também pode ser classificada em dois tipos, dependendo do valor de sua razão (k):

Homotecia direta

Ocorre se a constante k> 0; ou seja, os pontos homotéticos estão do mesmo lado em relação ao centro:

O fator de proporcionalidade ou razão de similaridade entre os valores homotéticos diretos será sempre positivo.

Homotecia reversa

Ocorre se a constante k <0; isto é, os pontos iniciais e sua homotética estão localizados nas extremidades opostas em relação ao centro do homotético, mas alinhados a ele. O centro ficará entre as duas figuras:

O fator de proporcionalidade ou razão de similaridade entre os valores homotéticos inversos será sempre negativo.

Composição

Quando vários movimentos são realizados sucessivamente até obter uma figura igual à original, ocorre uma composição de movimentos. A composição de vários movimentos também é um movimento.

A composição entre duas homotécies resulta em uma nova homotecia; ou seja, há um produto de homotetias em que o centro estará alinhado com o centro das duas transformações originais, e a razão (k) é o produto das duas razões.

Assim, na composição de duas homotécies H ₁ (O ₁, k ₁) e H ₂ (O ₂, k ₂), a multiplicação de suas razões: k ₁ xk ₂ = 1 resultará em uma homotecia da razão k ₃ = k ₁ xk ₂. O centro desta nova homotecia (O ₃) estará localizado na linha O ₁ O ₂.

Homotecia corresponde a uma mudança plana e irreversível; Se duas homotetias forem aplicadas com o mesmo centro e razão, mas com um sinal diferente, o valor original será obtido.

Exemplos

Primeiro exemplo

Aplique uma homotecia ao polígono de centro (O) dado, localizado a 5 cm do ponto A e cuja razão é k = 0,7.

Solução

Qualquer ponto é escolhido como o centro da homotecia, e a partir deste ponto os raios são desenhados através dos vértices da figura:

A distância do centro (O) ao ponto A é OA = 5; Com isso, pode-se determinar a distância de um dos pontos homotéticos (OA '), sabendo também que k = 0,7:

OA '= kx OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

O processo pode ser feito para cada vértice, ou o polígono homotético também pode ser desenhado lembrando que os dois polígonos têm lados paralelos:

Finalmente, a transformação é semelhante a esta:

Segundo exemplo

Aplique uma homotecia ao polígono dado com centro (O), localizado a 8,5 cm do ponto C e cuja razão y k = -2.

Solução

A distância do centro (O) ao ponto C é OC = 8,5; Com esses dados é possível determinar a distância de um dos pontos homotéticos (OC '), sabendo também que k = -2:

OC '= kx OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Após desenhar os segmentos dos vértices do polígono transformado, temos que os pontos iniciais e suas homotéticas estão localizados nas extremidades opostas em relação ao centro:

Referências

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Desenho Técnico: caderno de atividades.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, JL (2002). Affinity, Homology and Homothecy.
3. Baer, ​​R. (2012). Álgebra Linear e Geometria Projetiva. Courier Corporation.
4. Hebert, Y. (1980). Matemática geral, probabilidades e estatísticas.
5. Meserve, BE (2014). Conceitos Fundamentais de Geometria. Courier Corporation.
6. Nachbin, L. (1980). Introdução à álgebra. Reverte.