A lei do sanduíche ou da tortilha é um método que permite operar com frações; especificamente, permite que você divida frações. Em outras palavras, por meio dessa lei você pode fazer divisões de números racionais. A Lei do Sanduíche é uma ferramenta útil e fácil de lembrar.
Neste artigo, consideraremos apenas o caso de divisão de números racionais que não são ambos inteiros. Esses números racionais também são conhecidos como números fracionários ou quebrados.
Explicação
Suponha que você precise dividir dois números fracionários a / b ÷ c / d. A lei sanduíche consiste em expressar esta divisão da seguinte forma:
Esta lei estabelece que o resultado é obtido multiplicando-se o número localizado na extremidade superior (neste caso, o número "a") pelo número na extremidade inferior (neste caso "d"), e dividindo essa multiplicação pelo produto do números do meio (neste caso, "b" e "c"). Assim, a divisão acima é igual a a × d / b × c.
Pode-se perceber na forma de expressar a divisão anterior que a linha do meio é mais longa que a dos números fracionários. Também é apreciado que é semelhante a um sanduíche, uma vez que os limites são os números fracionários que você deseja dividir.
Essa técnica de divisão também é conhecida como duplo C, uma vez que um grande "C" pode ser usado para identificar o produto dos números extremos e um menor "C" para identificar o produto dos números do meio:
Ilustração
Números fracionais ou racionais são números na forma m / n, onde "m" e "n" são números inteiros. O inverso multiplicativo de um número racional m / n consiste em outro número racional que, quando multiplicado por m / n, resulta no número um (1).
Este inverso multiplicativo é denotado por (m / n) -1 e é igual a n / m, uma vez que m / n × n / m = m × n / n × m = 1. Por notação, também temos que (m / n) -1 = 1 / (m / n).
A justificativa matemática da lei do sanduíche, bem como de outras técnicas existentes para divisão de frações, reside no fato de que ao dividir dois números racionais a / be c / d, basicamente o que está sendo feito é a multiplicação de a / b pelo inverso multiplicativo de c / d. Isto é:
a / b ÷ c / d = a / b × 1 / (c / d) = a / b × (c / d) -1 = a / b × d / c = a × d / b × c, como já tinha sido obtido anteriormente.
Para não sobrecarregar, algo que deve ser levado em consideração antes de usar a lei sanduíche é que ambas as frações são o mais simplificadas possível, já que há casos em que não é necessário usar a lei.
Por exemplo, 8/2 ÷ 16/4 = 4 ÷ 4 = 1. A lei sanduíche poderia ter sido utilizada, obtendo-se o mesmo resultado após simplificação, mas a divisão também pode ser feita diretamente, pois os numeradores são divisíveis pelos denominadores.
Outra coisa importante a se considerar é que essa lei também pode ser usada quando você precisa dividir um número fracionário por um número inteiro. Nesse caso, coloque 1 sob o número inteiro e continue a usar a lei sanduíche como antes. Isso ocorre porque qualquer inteiro k satisfaz que k = k / 1.
Exercícios
Aqui estão algumas divisões nas quais a lei sanduíche é usada:
- 2 ÷ (7/3) = (2/1) ÷ (7/3) = (2 × 3) / (1 × 7) = 6/7.
- 2/4 ÷ 5/6 = 1/2 ÷ 5/6 = 1 × 6/2 × 5 = 6/10 = 3/5.
Neste caso, as frações 2/4 e 6/10 foram simplificadas, dividindo por 2 para cima e para baixo. Este é um método clássico para simplificar frações que consiste em encontrar os divisores comuns do numerador e do denominador (se houver) e dividir ambos pelo divisor comum até obter uma fração irredutível (na qual não há divisores comuns).
- (xy + y) / z ÷ (x + 1) / z 2 = (xy + y) z 2 / z (x + 1) = (x + 1) yz 2 / z (x + 1) = yz.
Referências
- Almaguer, G. (2002). Matemática 1. Editorial Limusa.
- Álvarez, J., Jácome, J., López, J., Cruz, E. d., & Tetumo, J. (2007). Matemática básica, elementos de apoio. Univ. J. Autónoma de Tabasco.
- Bails, B. (1839). Princípios de aritmética. Impresso por Ignacio Cumplido.
- Barker, L. (2011). Textos nivelados para matemática: número e operações. Materiais criados pelo professor.
- Barrios, AA (2001). 2ª Matemática. Editorial Progreso.
- Eguiluz, ML (2000). Frações: dor de cabeça? Noveduc Books.
- García Rua, J., & Martínez Sánchez, JM (1997). Matemática básica elementar. Ministério da Educação.