NÚMEROS COMPLEXOS: PROPRIEDADES, EXEMPLOS, OPERAÇÕES - MATEMÁTICAS - 2025

Os números complexos são o conjunto numérico que cobre os números reais e todas as raízes dos polinômios, incluindo raízes de pares de números negativos. Essas raízes não existem no conjunto dos números reais, mas nos números complexos existe a solução.

Um número complexo consiste em uma parte real e uma parte chamada "imaginária". A parte real é chamada de a, por exemplo, e a parte imaginária ib, com aeb números reais e "i" como unidade imaginária. Desta forma, o número complexo assume a forma:

Figura 1.- Representação binomial de um número complexo em termos de parte real e parte imaginária. Fonte: Pixabay.

Exemplos de números complexos são 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Mas antes de operar com eles, vejamos de onde vem a unidade imaginária i, considerando esta equação quadrática:

x ² - 10x + 34 = 0

Em que a = 1, b = -10 e c = 34.

Ao aplicar a fórmula de resolução para determinar a solução, encontramos o seguinte:

Como determinar o valor de √-36? Não há nenhum número real que ao quadrado produza uma quantidade negativa. Conclui-se então que esta equação não possui soluções reais.

No entanto, podemos escrever isso:

√-36 = √-6 ² = √6 ² (-1) = 6√-1

Se definirmos um certo valor x tal que:

x ² = -1

Assim:

x = ± √-1

E a equação acima teria uma solução. Portanto, a unidade imaginária foi definida como:

i = √-1

E assim:

√-36 = 6i

Muitos matemáticos da antiguidade trabalharam na solução de problemas semelhantes, notadamente o Renaissance Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) e Raffaele Bombelli (1526-1572).

Anos depois, René Descartes (1596-1650) chamou as quantidades de “imaginárias” como √-36 no exemplo. Por esta razão, √-1 é conhecido como unidade imaginária.

Propriedades de números complexos

-O conjunto de números complexos é denotado como C e inclui os números reais R e os números imaginários Im. Os conjuntos de números são representados em um diagrama de Venn, conforme mostrado na figura a seguir:

Figura 2. Diagrama de Venn de conjuntos de números. Fonte: F. Zapata.

-Todo o número complexo consiste em uma parte real e uma parte imaginária.

-Quando a parte imaginária de um número complexo é 0, é um número real puro.

-Se a parte real de um número complexo for 0, então o número é puramente imaginário.

-Dois números complexos são iguais se suas respectivas partes reais e imaginárias forem iguais.

- Com os números complexos, as operações conhecidas de adição, subtração, multiplicação, produto e realce são realizadas, resultando em outro número complexo.

Representação de números complexos

Os números complexos podem ser representados de várias maneiras. Aqui estão os principais:

- Forma binomial

É a forma dada no início, onde z é o número complexo, a é a parte real, b é a parte imaginária ei é a unidade imaginária:

Ou também:

Uma maneira de representar graficamente o número complexo é através do plano complexo mostrado nesta figura. O eixo imaginário Im é vertical, enquanto o eixo real é horizontal e é denotado como Re.

O número complexo z é representado neste plano como um ponto de coordenadas (x, y) ou (a, b), como é feito com os pontos do plano real.

A distância da origem ao ponto z é o módulo do número complexo, denotado como r, enquanto φ é o ângulo que r forma com o eixo real.

Figura 3. Representação de um número complexo no plano complexo. Fonte: Wikimedia Commons.

Esta representação está intimamente relacionada com a dos vetores no plano real. O valor de r corresponde ao módulo do número complexo.

- Forma polar

A forma polar consiste em expressar o número complexo dando os valores de r e de φ. Se olharmos a figura, o valor de r corresponde à hipotenusa de um triângulo retângulo. As pernas valem a e b ou x e y.

Da forma binomial ou binomial, podemos passar para a forma polar:

O ângulo φ é aquele formado pelo segmento r com o eixo horizontal ou eixo imaginário. É conhecido como o argumento do número complexo. Desta maneira:

O argumento tem valores infinitos, levando em consideração que toda vez que uma curva é virada, que vale 2π radianos, r ocupa a mesma posição novamente. Desta forma geral, o argumento de z, denotado Arg (z), é expresso assim:

Onde k é um número inteiro e é usado para indicar o número de voltas giradas: 2, 3, 4…. O sinal indica o sentido de rotação, se é no sentido horário ou anti-horário.

Figura 4. Representação polar de um número complexo no plano complexo. Fonte: Wikimedia Commons.

E se quisermos ir da forma polar para a forma binomial, usamos as razões trigonométricas. Na figura anterior, podemos ver que:

x = r cos φ

y = r sin φ

Desta forma, z = r (cos φ + i sen φ)

Que é abreviado assim:

z = r cis φ

Exemplos de números complexos

Os seguintes números complexos são fornecidos na forma binomial:

a) 3 + i

b) 4

d) -6i

E estes na forma de um par ordenado:

a) (-5, -3)

b) (0, 9)

c) (7,0)

Finalmente, este grupo é dado na forma polar ou trigonométrica:

a) √2 cis 45º

b) √3 cis 30º

c) 2 cis 315º

Para que servem?

A utilidade dos números complexos vai além da resolução da equação quadrática apresentada no início, pois são essenciais no campo da engenharia e da física, especialmente em:

-O estudo das ondas eletromagnéticas

-Análise de corrente alternada e tensão

-A modelagem de todos os tipos de sinais

-Teoria da relatividade, onde o tempo é assumido como uma magnitude imaginária.

Operações de números complexos

Com números complexos, podemos realizar todas as operações que são feitas com números reais. Alguns são mais fáceis de fazer se os números vierem na forma binomial, como adição e subtração. Em contraste, a multiplicação e a divisão são mais simples se forem realizadas com a forma polar.

Vejamos alguns exemplos:

- Exemplo 1

Adicione z ₁ = 2 + 5i e z ₂ = -3 -8i

Solução

As partes reais são adicionadas separadamente das partes imaginárias:

z ₁ + z ₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- Exemplo 2

Multiplique z ₁ = 4 cis 45º e z ₂ = 5 cis 120º

Solução

Pode-se mostrar que o produto de dois números complexos na forma polar ou trigonométrica é dado por:

z ₁. z ₂ = r ₁.r ₂ cis (φ ₁ + φ ₂)

De acordo com isso:

z ₁. z ₂ = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º

Inscrição

Uma aplicação simples de números complexos é encontrar todas as raízes de uma equação polinomial como a mostrada no início do artigo.

No caso da equação x ² - 10x + 34 = 0, aplicando a fórmula de resolução obtemos:

Portanto, as soluções são:

x ₁ = 5 + 3i

x ₂ = 5 - 3i

Referências

1. Earl, R. Complex numbers. Recuperado de: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Mathematics 1st. Diversificado. Edições CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Seleção de tópicos de matemática. Publicações Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Números complexos. Recuperado de: en.wikipedia.org