- Exemplos de números compostos
- Critérios de divisibilidade
- - Divisibilidade por 2
- - Divisibilidade por 3
- - Divisibilidade por 5
- -Divisibilidade por 7
- -Divisibilidade por 11
- -Divisibilidade por 13
- Números primos entre si
- Como saber quantos divisores um número composto tem
- Exercícios resolvidos
- - Exercício 1
- Solução para
- Solução b
- Solução c
- Solução d
- - Exercício 2
- Solução
- Referências
Os números dos compostos são aqueles inteiros que têm mais de dois divisores. Se olharmos de perto, todos os números são pelo menos divisíveis exatamente por eles mesmos e por 1. Aqueles que têm apenas esses dois divisores são chamados de primos, e aqueles que têm mais são compostos.
Vejamos o número 2, que só pode ser dividido entre 1 e 2. O número 3 também tem dois divisores: 1 e 3. Portanto, ambos são primos. Agora vamos olhar para o número 12, que podemos dividir exatamente por 2, 3, 4, 6 e 12. Por ter 5 divisores, 12 é um número composto.
Figura 1. Os números primos em azul só podem ser representados por uma única linha de pontos, não por números compostos em vermelho. Fonte: Wikimedia Commons.
E o que acontece com o número 1, aquele que divide todos os outros? Bem, não é primo porque não tem dois divisores e não é composto, portanto, 1 não se enquadra em nenhuma dessas duas categorias. Mas há muitos, muitos outros números que o fazem.
Os números compostos podem ser expressos como o produto dos números primos, e esse produto, exceto pela ordem dos fatores, é único para cada número. Isso é assegurado pelo teorema fundamental da aritmética provado pelo matemático grego Euclides (325-365 aC).
Voltemos ao número 12, que podemos expressar de várias maneiras. Vamos tentar alguns:
12 = 4 x 3 = 2 x 6 = 12 x 1 = 2 2 x 3 = 3 x 2 2 = 3 x 2 x 2 = 2 x 2 x 3 = 2 x 3 x 2
As formas destacadas em negrito são produtos de números primos e a única coisa que muda é a ordem dos fatores, que sabemos que não altera o produto. As outras formas, embora válidas para expressar 12, não consistem apenas em primos.
Exemplos de números compostos
Se quisermos decompor um número composto em seus fatores primos, devemos dividi-lo entre os números primos de forma que a divisão seja exata, ou seja, o resto é 0.
Este procedimento é denominado fatoração primária ou decomposição canônica. Fatores primários podem ser elevados a expoentes positivos.
Vamos decompor o número 570, observando que ele é par e, portanto, divisível por 2, que é um número primo.
Usaremos uma barra para separar o número à esquerda dos divisores à direita. Os respectivos quocientes são colocados sob o número à medida que são obtidos. A decomposição está completa quando a última figura na coluna da esquerda é 1:
570 │2
285 │
Ao dividir por 2, o quociente é 285, que é divisível por 5, outro número primo, terminando em 5.
570 │2
285 │5
57 │
57 é divisível por 3, também um primo, pois a soma de seus dígitos 5 + 7 = 12 é um múltiplo de 3.
570 │2
285 │5
57 │3
19 │
Por fim, obtemos 19, que é um número primo, cujos divisores são 19 e 1:
570 │2
285 │5
57 │3
19 │19
1 │
Ao obter 1, podemos expressar 570 desta forma:
570 = 2 x 5 x 3 x 19
E vemos que, na verdade, é o produto de 4 números primos.
Neste exemplo, começamos a dividir por 2, mas os mesmos fatores (em outra ordem) teriam sido obtidos se começássemos dividindo por 5, por exemplo.
Figura 2. O número composto 42 também pode ser decomposto usando um diagrama em forma de árvore. Fonte: Wikimedia Commons.
Critérios de divisibilidade
Para decompor um número composto em seus fatores primos, é necessário dividi-lo exatamente. Os critérios de divisibilidade entre números primos são regras que permitem saber quando um número é divisível por outro exatamente, sem ter que tentar ou provar.
- Divisibilidade por 2
Todos os números pares, aqueles que terminam em 0 ou um número par, são divisíveis por 2.
- Divisibilidade por 3
Se a soma dos dígitos de um número for um múltiplo de 3, o número também será e, portanto, divisível por 3.
- Divisibilidade por 5
Os números que terminam em 0 ou 5 são divisíveis por 5.
-Divisibilidade por 7
Um número é divisível por 7 se, ao separar o último dígito, multiplicando por 2 e subtraindo o número restante, o valor resultante for um múltiplo de 7.
Esta regra parece um pouco mais complicada do que as anteriores, mas na realidade não é muito, então vejamos um exemplo: 98 será divisível por 7?
Vamos seguir as instruções: separamos o último algarismo que é 8, multiplicamos por 2 que dá 16. O número que resta ao separar o 8 é 9. Subtraímos 16 - 9 = 7. E como 7 é um múltiplo de si mesmo, 98 é divisível entre 7.
-Divisibilidade por 11
Se a soma dos números na posição par (2, 4, 6…) for subtraída da soma dos números na posição ímpar (1, 3, 5, 7…) e obtivermos 0 ou um múltiplo de 11, o número é divisível por 11.
Os primeiros múltiplos de 11 são facilmente identificados: são 11, 22, 33, 44… 99. Mas tenha cuidado, 111 não é, em vez disso 110 é.
Como exemplo, vamos ver se 143 é um múltiplo de 11.
Este número tem 3 dígitos, o único dígito par é 4 (o segundo), os dois dígitos ímpares são 1 e 3 (primeiro e terceiro) e sua soma é 4.
Ambas as somas são subtraídas: 4 - 4 = 0 e como 0 é obtido, verifica-se que 143 é um múltiplo de 11.
-Divisibilidade por 13
O número sem o dígito da unidade deve ser subtraído de 9 vezes esse dígito. Se a contagem retornar 0 ou um múltiplo de 13, o número é um múltiplo de 13.
Como exemplo, verificaremos que 156 é um múltiplo de 13. O dígito da unidade é 6 e o número que permanece sem ele é 15. Multiplicamos 6 x 9 = 54 e agora subtraímos 54 - 15 = 39.
Mas 39 é 3 x 13, então 56 é um múltiplo de 13.
Números primos entre si
Dois ou mais números primos ou compostos podem ser primos ou co-primos. Isso significa que o único divisor comum que eles têm é 1.
Existem duas propriedades importantes a serem lembradas quando se trata de coprimos:
-Dois, três e mais números consecutivos são sempre primos entre si.
-O mesmo pode ser dito de dois, três ou mais números ímpares consecutivos.
Por exemplo, 15, 16 e 17 são números primos entre si e, portanto, são 15, 17 e 19.
Como saber quantos divisores um número composto tem
Um número primo tem dois divisores, o mesmo número e 1. E quantos divisores um número composto tem? Podem ser primos ou compostos.
Seja N um número composto expresso em termos de sua decomposição canônica da seguinte forma:
N = a n. b m. c p… r k
Onde a, b, c… r são os fatores primos en, m, p… k os respectivos expoentes. Bem, o número de divisores C que N tem é dado por:
C = (n +1) (m + 1) (p +1)… (k + 1)
Com C = divisores principais + divisores compostos + 1
Por exemplo 570, que é expresso assim:
570 = 2 x 5 x 3 x 19
Todos os fatores primos são elevados a 1, portanto 570 tem:
C = (1 + 1) (1 + 1) (1+ 1) (1 +1) = 16 divisores
Destes 10 divisores já sabemos: 1, 2, 3, 5, 19 e 570. Há mais 10 divisores ausentes, que são números compostos: 6, 10, 15, 30, 38, 57, 95, 114, 190 e 285. Eles são encontrados observando a decomposição em fatores primos e também multiplicando as combinações desses fatores.
Exercícios resolvidos
- Exercício 1
Decompor os seguintes números em fatores primos:
a) 98
b) 143
c) 540
d) 3705
Solução para
98 │2
49 │7
7 │7
1 │
98 = 2 x 7 x 7
Solução b
143 │11
13 │13
1 │
143 = 11 x 13
Solução c
540 │5
108 │2
54 │2
27 │3
9 │3
3 │3
1 │
540 = 5 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 5 x 2 2 x 3 3
Solução d
3705 │5
741 │3
247 │13
19 │19
1 │
3705 = 5 x 3 x 13 x 19
- Exercício 2
Descubra se os seguintes números são primos entre si:
6, 14, 9
Solução
-Os divisores de 6 são: 1, 2, 3, 6
- Quanto ao 14, é divisível por: 1, 2, 7, 14
-Finalmente 9 tem como divisores: 1, 3, 9
O único divisor que eles têm em comum é 1, portanto, eles são primos entre si.
Referências
- Baldor, A. 1986. Arithmetic. Codex de edições e distribuições.
- Byju's. Números primos e compostos. Recuperado de: byjus.com.
- Números primos e compostos. Recuperado de: profeyennyvivaslapresentacion.files.wordpress.com
- Smartick. Critérios de divisibilidade. Recuperado de: smartick.es.
- Wikipedia. Números compostos. Recuperado de: en.wikipedia.org.