NÚMEROS INTEIROS: PROPRIEDADES, EXEMPLOS, EXERCÍCIOS - MATEMÁTICAS - 2025

Os inteiros são um conjunto de números úteis para contar objetos que possuem e não possuem. Também para contar aqueles que estão de um lado e do outro de um determinado ponto de referência.

Também com números inteiros pode-se realizar a subtração ou diferença entre um número e outro maior que ele, sendo o resultado liquidado em dívida, por exemplo. A distinção entre ganhos e dívidas é feita com sinais + e - respectivamente.

Figura 1. A reta numérica para números inteiros. Fonte: Wikimedia Commons. Leomg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Portanto, o conjunto de números inteiros inclui o seguinte:

-Os inteiros positivos, que se escrevem precedidos do sinal +, ou simplesmente sem o sinal, desde que também se compreenda que são positivos. Por exemplo: +1, +2, + 3… e assim por diante.

-O 0, em que o sinal é irrelevante, já que não importa somar para subtraí-lo de alguma quantidade. Mas o 0 é muito importante, pois é a referência para os inteiros: de um lado estão os positivos e do outro os negativos, como vemos na figura 1.

- Inteiros negativos, que devem ser sempre escritos precedidos do sinal -, pois com eles se distinguem os valores como dívidas e todos os que estão do outro lado da referência. Exemplos de números inteiros negativos são: -1, -2, -3… e depois disso.

Como os inteiros são representados?

No início, representamos os números inteiros com a notação de conjunto: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, + 4…}, ou seja, listas e organizado. Mas uma representação muito útil é aquela usada pela reta numérica. Isso requer o desenho de uma linha, que geralmente é horizontal, na qual 0 é marcado e dividido em seções idênticas:

Figura 2. Representação de números inteiros na reta numérica. De 0 à direita são os inteiros positivos e de 0 à esquerda os negativos. Fonte: F. Zapata.

Os negativos vão para a esquerda de 0 e os positivos vão para a direita. As setas na reta numérica simbolizam que os números vão até o infinito. Dado qualquer número inteiro, sempre é possível encontrar um que seja maior ou outro que seja menor.

O valor absoluto de um inteiro

O valor absoluto de um inteiro é a distância entre o número e 0. E as distâncias são sempre positivas. Portanto, o valor absoluto do inteiro negativo é o número sem seu sinal de menos.

Por exemplo, o valor absoluto de -5 é 5. O valor absoluto é denotado por barras, da seguinte maneira:

--5- = 5

Para visualizá-lo basta contar os espaços da reta numérica, de -5 a 0. Enquanto o valor absoluto de um inteiro positivo é o mesmo número, por exemplo - + 3- = 3, já que sua distância de 0 é com 3 espaços:

Figura 3. O valor absoluto de um número inteiro é sempre uma quantidade positiva. Fonte: F. Zapata.

Propriedades

-O conjunto de inteiros é denotado como Z e inclui o conjunto de números naturais N, seus elementos sendo infinitos.

-Um número inteiro e aquele que o segue (ou o que o precede) são sempre diferenciados na unidade. Por exemplo, depois de 5, vem o 6, sendo 1 a diferença entre eles.

-Cada inteiro tem um predecessor e um sucessor.

-Qualquer número inteiro positivo é maior que 0.

-Um número inteiro negativo é sempre menor que 0 e qualquer número positivo. Tomemos por exemplo o número -100, isso é menor que 2, 10 e 50. Mas também é menor que -10, -20 e -99 e é maior que -200.

-O 0 não tem considerações de sinal, pois não é negativo nem positivo.

- Com os números inteiros você pode realizar as mesmas operações que são feitas com os números naturais, a saber: adição, subtração, multiplicação, empoderamento e muito mais.

-O inteiro oposto a um certo inteiro x é –x e a soma de um inteiro com seu oposto é 0:

x + (-x) = 0.

Operações com inteiros

- Soma

-Se os números a serem somados tiverem o mesmo sinal, seus valores absolutos são somados e o resultado é colocado com o sinal que os adendos possuem. aqui estão alguns exemplos:

a) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

b) (-12) + (- 10) = - (12 + 10) = -22

-Se os números forem de sinal diferente, os valores absolutos são subtraídos (o maior do menor) e o resultado é colocado com o sinal do número com o maior valor absoluto, da seguinte forma:

a) (-8) + (21) = 21 - 8 = 13

b) (-9) + (+4) = - (9-4) = -5

Propriedades da soma de inteiros

-A soma é comutativa, portanto a ordem dos adendos não altera a soma. Sejam aeb dois inteiros, é verdade que a + b = b + a

-O 0 é o elemento neutro da soma dos inteiros: a + 0 = a

-Qualquer inteiro adicionado ao seu oposto é 0. O oposto de + a é –a, e inversamente, o oposto de –a é + a. Portanto: (+ a) + (-a) = 0.

Figura 2. Regra de sinais para adição de números inteiros. Fonte: Wikimedia Commons.

- Subtração

Para subtrair números inteiros, deve-se guiar por esta regra: a subtração equivale à adição de um número com seu oposto. Sejam aeb dois números, então:

a - b = a + (-b)

Por exemplo, suponha que você precise fazer a seguinte operação: (-3) - (+7), então:

(-3) - (+7) = (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10

- Multiplicação

A multiplicação de números inteiros segue certas regras para os sinais:

-O produto de dois números com o mesmo sinal é sempre positivo.

-Quando dois números com sinais diferentes são multiplicados, o resultado é sempre negativo.

-O valor do produto é igual à multiplicação dos respectivos valores absolutos.

De imediato, alguns exemplos que esclarecem o acima:

(-5) x (+8) = - 5 x 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

Propriedades de multiplicação de inteiros

-A multiplicação é comutativa. Sejam aeb dois inteiros, é verdade que: ab = ba, que também pode ser expresso como:

-O elemento neutro da multiplicação é 1. Seja a um número inteiro, portanto a.1 = 1

- Qualquer número inteiro multiplicado por 0 é igual a 0: a.0 = 0

A propriedade distributiva

A multiplicação está em conformidade com a propriedade distributiva com respeito à adição. Se a, b e c forem números inteiros, então:

a. (b + c) = ab + ac

Aqui está um exemplo de como aplicar esta propriedade:

(-3). = (-3). (- 4) + (- 3).11 = 12 - 33 = 12 + (-33) = -21

Fortalecimento

-Se a base for positiva, o resultado da operação é sempre positivo.

-Quando a base é negativa, se o expoente é par, o resultado é positivo. e se o expoente for ímpar, o resultado é negativo.

- Divisão

As mesmas regras de sinais se aplicam na divisão e na multiplicação:

-Ao dividir dois números inteiros do mesmo sinal, o resultado é sempre positivo.

-Quando dois inteiros com sinais diferentes são divididos, o quociente é negativo.

Por exemplo:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

Importante: a divisão não é comutativa, ou seja, a ÷ b ≠ b ÷ a e como sempre, a divisão por 0 não é permitida.

- Fortalecimento

Seja a um inteiro e queremos elevá-lo a um expoente n, então devemos multiplicar a por ele mesmo n vezes, como mostrado abaixo:

a ⁿ = aaaa……a

Considere também o seguinte, levando em consideração que n é um número natural:

-Se a for negativo en for par, o resultado será positivo.

-Quando a é negativo e n é ímpar, resulta em um número negativo.

-Se a for positivo en for par ou ímpar, sempre resultará um número inteiro positivo.

- Qualquer número inteiro elevado a 0 é igual a 1: a ⁰ = 1

- Qualquer número elevado a 1 é igual ao número: a ¹ = a

Digamos, por exemplo, que desejamos encontrar (–3) ⁴, para fazer isso multiplicamos (-3) quatro vezes por ele mesmo, assim: (–3). (- 3). (- 3). (- 3) = 81.

Outro exemplo, também com um número inteiro negativo:

(-2) ³ = (-2). (- 2). (- 2) = -8

Produto de poderes de base igual

Suponha duas potências de base igual, se as multiplicarmos obteremos outra potência com a mesma base, cujo expoente é a soma dos expoentes dados:

a ⁿ a ^m = a ^{n + m}

Quociente de potências de base igual

Ao dividir potências de base igual, o resultado é uma potência de mesma base, cujo expoente é a subtração dos expoentes dados:

a ⁿ ÷ a ^m = a ^{n - m}

Aqui estão dois exemplos que esclarecem esses pontos:

(-2) ^3. (- 2) ⁵ = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ ÷ 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

Exemplos

Vejamos exemplos simples de aplicação dessas regras, lembrando que no caso de inteiros positivos o sinal pode ser dispensado:

a) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

b) (-8) + (- 10) = - (8 + 10) = -18

c) (-16) + (+7) = - 16 + 7 = -9

d) (+4) + (-8) + (-25) = + (-25) = -25 = -4 -25 = -29

e) (-8) - (+15) = (-8) + (-15) = -8 - 15 = -23

f) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

g) (- 4) x (-11) = 4 x 11 = 44

h) (+5) x (-12) = - 5 x 12 = -60

i) (-2) ³ = (-2) x (-2) x (-2) = - 8

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Uma formiga se move ao longo da reta numérica na figura 1. Partindo do ponto x = +3, ela faz os seguintes movimentos:

-Move 7 unidades para a direita

-Agora você retorna 5 unidades à esquerda

-Caminhe mais 3 unidades para a esquerda.

-Ele volta e move 4 unidades para a direita.

Em que ponto está a formiga no final do passeio?

Solução

Vamos chamar os deslocamentos de D. Quando estão à direita, recebem um sinal positivo e quando estão à esquerda, um sinal negativo. Desta forma, e a partir de x = +3 temos:

-Primeiro D: x ₁ = +3 + 7 = +10

-Segundo D: x ₂ = +10 + (-5) = +5

-Terceiro D: x ₃ = +5 + (-3) = +2

-Sala D: x ₄ = +2 + 4 = +6

Quando a formiga termina seu passeio, ela está na posição x = +6. Ou seja, são 6 unidades à direita de 0 na reta numérica.

- Exercício 2

Resolva a seguinte operação:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]}

Solução

Esta operação contém sinais de agrupamento, que são parênteses, colchetes e colchetes. Ao resolver, você deve cuidar primeiro dos parênteses, depois dos colchetes e, por último, dos colchetes. Em outras palavras, você precisa trabalhar de dentro para fora.

Neste exercício, o ponto representa uma multiplicação, mas se não houver nenhum ponto entre um número e um parêntese ou outro símbolo, também é entendido como um produto.

Abaixo do passo a passo da resolução, as cores servem de guia para acompanhar o resultado da redução dos parênteses, que são os símbolos de agrupamento mais internos:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]} =

= {36 +}. {- + 2 (-2)]} =

= {36 +}. {- 4]} =

= {52}. {1- 4]} = {52}. {- 3} = -156

- Exercício 3

Resolva a equação do primeiro grau:

12 + x = 30 + 3x

Solução

Os termos são agrupados com o desconhecido à esquerda da igualdade e os termos numéricos à direita:

x - 3x = 30 - 12

- 2x = 18

x = 18 / (-2)

x = - 9

Referências

1. Carena, M. 2019. Pre-University Mathematics Manual. Universidade Nacional do Litoral.
2. Figuera, J. 2000. 7th Grade Mathematics. Edições CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Seleção de tópicos de matemática. Publicações Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Os números inteiros. Recuperado de: Cimanet.uoc.edu.