NÚMEROS REAIS: HISTÓRIA, EXEMPLOS, PROPRIEDADES, OPERAÇÕES - MATEMÁTICAS - 2025

Os números reais constituem o conjunto numérico que inclui os números naturais, os inteiros, os racionais e os irracionais. Eles são denotados pelo símbolo ℝ ou simplesmente R e seu escopo na ciência, engenharia e economia é tal que, quando se fala em “número”, é quase certo que se trata de um número real.

Os números reais têm sido usados ​​desde os tempos antigos, embora não tenham recebido esse nome. A partir do momento em que Pitágoras desenvolveu seu famoso teorema, surgiram números que não podiam ser obtidos como quocientes de números naturais ou inteiros.

Figura 1. Diagrama de Venn mostrando como o conjunto de números reais contém os outros conjuntos de números. Fonte> Wikimedia Commons.

Exemplos de números são √2, √3 e π. Esses números são chamados de irracionais, em oposição aos números racionais, que vêm de quocientes de números inteiros. Era, portanto, necessário um conjunto numérico que englobasse ambas as classes de números.

O termo "número real" foi criado pelo grande matemático René Descartes (1596-1650), para distinguir entre os dois tipos de raízes que podem surgir da resolução de uma equação polinomial.

Algumas dessas raízes podem ser até raízes de números negativos, Descartes chamou esses "números imaginários" e aqueles que não eram, eram números reais.

A denominação persistiu ao longo do tempo, dando origem a dois grandes conjuntos numéricos: números reais e números complexos, um conjunto maior que inclui números reais, números imaginários e aqueles que são parte reais e parte imaginários.

A evolução dos números reais continuou seu curso até que em 1872, o matemático Richard Dedekind (1831-1936) definiu formalmente o conjunto dos números reais por meio dos chamados cortes de Dedekind. A síntese de seu trabalho foi publicada em artigo que viu a luz naquele mesmo ano.

Exemplos de números reais

A tabela abaixo mostra exemplos de números reais. Este conjunto tem como subconjuntos os números naturais, os inteiros, os racionais e os irracionais. Qualquer número desses conjuntos é, em si, um número real.

Portanto, 0, negativos, positivos, frações e decimais são números reais.

Figura 2. Exemplos de números reais são naturais, inteiros, racionais, irracionais e transcendentes. Fonte: F. Zapata.

Representação de números reais na linha real

Os números reais podem ser representados na linha real R, conforme mostrado na figura. Não é necessário que o 0 esteja sempre presente, porém é conveniente saber que os reais negativos estão à esquerda e os positivos à direita. Por isso é um excelente ponto de referência.

Na reta real, é feita uma escala, na qual os inteiros são encontrados:… 3, -2, -1, 1, 2, 3…. A seta indica que a linha se estende ao infinito. Mas isso não é tudo, em qualquer intervalo considerado, também sempre encontraremos números reais infinitos.

Os números reais são representados em ordem. Para começar é a ordem dos inteiros, em que os positivos são sempre maiores que 0, enquanto os negativos são menores.

Esta ordem é mantida dentro dos números reais. As seguintes desigualdades são mostradas como exemplo:

a) -1/2 <√2

b) e <π

c) π> -1/2

Figura 3.- A linha real. Fonte: Wikimedia Commons.

Propriedades dos números reais

- Os números reais incluem números naturais, inteiros, números racionais e números irracionais.

-A propriedade comutativa de adição é cumprida: a ordem dos adendos não altera a soma. Se aeb são dois números reais, é sempre verdade que:

a + b = b + a

-O 0 é o elemento neutro da soma: a + 0 = a

-Para a soma a propriedade associativa é cumprida. Se a, bec são números reais: (a + b) + c = a + (b + c).

-O oposto de um número real é -a.

-A subtração é definida como a soma do oposto: a - b = a + (-b).

- A propriedade comutativa do produto é cumprida: a ordem dos fatores não altera o produto: ab = ba

- No produto a propriedade associativa também é aplicada: (ab).c = a. (Bc)

-O 1 é o elemento neutro da multiplicação: a.1 = a

-A propriedade distributiva da multiplicação é válida com respeito à adição: a. (b + c) = ab + ac

-Divisão por 0 não é definida.

-Qualquer número real a, exceto 0, tem um inverso multiplicativo de ^-1 tal que aa ^-1 = 1.

-Se a for um número real: a ⁰ = 1 e a ¹ = a.

-O valor absoluto ou módulo de um número real é a distância entre o referido número e 0.

Operações com números reais

Com os números reais você pode fazer as operações que são feitas com os outros conjuntos numéricos, incluindo adição, subtração, multiplicação, divisão, empoderamento, radicação, logaritmos e muito mais.

Como sempre, a divisão por 0 não está definida, nem os logaritmos dos números negativos ou 0, embora seja verdade que log 1 = 0 e que os logaritmos dos números entre 0 e 1 são negativos.

Formulários

As aplicações de números reais a todos os tipos de situações são extremamente variadas. Os números reais aparecem como respostas para muitos problemas em ciência exata, ciência da computação, engenharia, economia e ciências sociais.

Todos os tipos de magnitudes e quantidades, como distâncias, tempos, forças, intensidade do som, dinheiro e muito mais, têm sua expressão em números reais.

A transmissão de sinais telefônicos, a imagem e o som de um vídeo, a temperatura de um ar condicionado, um aquecedor ou uma geladeira podem ser controlados digitalmente, o que significa transformar quantidades físicas em sequências numéricas.

O mesmo acontece ao fazer uma transação bancária pela Internet ou ao consultar mensagens instantâneas. Os números reais estão por toda parte.

Exercício resolvido

Vamos ver com exercícios como esses números funcionam em situações comuns que encontramos no dia a dia.

Exercício 1

Os correios só aceitam pacotes cujo comprimento, mais a medida da circunferência, não ultrapasse 108 polegadas. Portanto, para que o pacote apresentado seja aceito, deve-se observar que:

L + 2 (x + y) ≤ 108

a) Um pacote com 6 polegadas de largura, 8 polegadas de altura e 5 pés de comprimento conseguirá passar?

b) Que tal um que mede 2 x 2 x 4 pés ³ ?

c) Qual é a altura mais alta aceitável para um pacote cuja base é quadrada e mede 9 x 9 polegadas ² ?

Responda para

L = 5 pés = 60 polegadas

x = 6 polegadas

y = 8 polegadas

A operação a ser resolvida é:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) polegadas = 60 + 2 x 14 polegadas = 60 + 28 polegadas = 88 polegadas

O pacote é aceito.

Resposta b

As dimensões deste pacote são menores do que o pacote a), então ambos conseguem passar.

Resposta c

Neste pacote:

x = L = 9 polegadas

Deve-se observar que:

9+ 2 (9 + y) ≤ 108

27 + 2y ≤ 108

2y ≤ 81

e ≤ 40,5 polegadas

Referências

1. Carena, M. 2019. Pre-University Mathematics Manual. Universidade Nacional do Litoral.
2. Diego, A. Números reais e suas propriedades. Recuperado de: matematica.uns.edu.ar.
3. Figuera, J. 2000. Mathematics 9th. Grau. Edições CO-BO.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5 ª. Edição. Cengage Learning.