ÂNGULOS COMPLEMENTARES: QUAIS E COMO SÃO CALCULADOS, EXEMPLOS, EXERCÍCIOS - MATEMÁTICAS - 2025

Dois ou mais ângulos são ângulos complementares se a soma de suas medidas corresponder à de um ângulo reto. Como se sabe, a medida de um ângulo reto em graus é 90º e em radianos é π / 2.

Por exemplo, os dois ângulos adjacentes à hipotenusa de um triângulo retângulo são complementares um ao outro, pois a soma de suas medidas é 90º. A figura a seguir é muito ilustrativa a esse respeito:

Figura 1. À esquerda, vários ângulos com um vértice comum. À direita, um ângulo de 60º que complementa o ângulo α (alfa). Fonte: F. Zapata.

Um total de quatro ângulos são mostrados na figura 1. α e β são complementares uma vez que são adjacentes e sua soma completa um ângulo reto. Da mesma forma, β é complementar a γ, de onde se segue que γ e α são de igual medida.

Agora, como a soma de α e δ é igual a 90 graus, pode-se afirmar que α e δ são complementares. Além disso, como β e δ têm o mesmo α complementar, pode-se dizer que β e δ têm a mesma medida.

Exemplos de ângulos complementares

Os exemplos a seguir pedem para encontrar os ângulos desconhecidos, marcados com pontos de interrogação na figura 2.

Figura 2. Vários exemplos de ângulos complementares. Fonte: F. Zapata.

- Exemplos A, B e C

Os exemplos a seguir estão em ordem de complexidade.

Exemplo A

Na figura acima temos que os ângulos adjacentes α e 40º somam um ângulo reto. Ou seja, α + 40º = 90º, portanto α = 90º- 40º = 50º.

Exemplo B

Como β é complementar ao ângulo de 35º, então β = 90º - 35º = 55º.

Exemplo C

Da figura 2C temos que a soma de γ + 15º + 15º = 90º. Em outras palavras, γ é complementar ao ângulo 30º = 15º + 15º. De maneira que:

γ = 90º- 30º = 60º

- Exemplos D, E e F

Nestes exemplos, há mais ângulos envolvidos. Para encontrar as incógnitas, o leitor deve aplicar o conceito de ângulo complementar quantas vezes forem necessárias.

Exemplo D

Como X é complementar a 72º, segue-se que X = 90º - 72º = 18º. Além disso, Y é complementar a X, então Y = 90º - 18º = 72º.

Finalmente Z é complementar com Y. De tudo o que foi dito acima, segue-se que:

Z = 90º - 72º = 18º

Exemplo E

Os ângulos δ e 2δ são complementares, portanto δ + 2δ = 90º.

Ou seja, 3δ = 90º, o que implica que δ = 90º / 3 = 30º.

Exemplo F

Se chamarmos o ângulo entre que e 10º U, então U é suplementar a ambos, pois se observa que sua soma completa um ângulo reto. Daí se segue que U = 80º. Como U é complementar a ω, então ω = 10º.

Exercícios

Três exercícios são propostos abaixo. Em todas elas deve ser encontrado o valor dos ângulos A e B em graus, para que as relações mostradas na figura 3 sejam cumpridas.

Figura 3. Ilustrações para exercícios de ângulo complementares. Fonte: F. Zapata.

- Exercício 1

Determine os valores dos ângulos A e B da parte I) da Figura 3.

Solução

Pela figura mostrada pode-se observar que A e B são complementares, portanto A + B = 90º. Substituímos A e B pela expressão como uma função de x dada na parte I):

(x / 2 + 7) + (2x + 15) = 90

Os termos são agrupados de forma adequada e uma equação linear simples é obtida:

(5x / 2) + 22 = 90

Subtraindo 22 em ambos os membros temos:

5x / 2 = 90 -22 = 68

E, finalmente, o valor de x é limpo:

x = 2 * 68/5 = 136/5

Agora, o ângulo A é encontrado substituindo o valor de X:

A = (136/5) / 2 +7 = 103/5 = 20,6 º.

Enquanto o ângulo B é:

B = 2 * 136/5 + 15 = 347 / 5º = 69,4º.

- Exercício 2

Encontre os valores dos ângulos A e B da imagem II, figura 3.

Solução

Novamente, como A e B são ângulos complementares, segue-se que: A + B = 90º. Substituindo a expressão de A e B como uma função de x dada na parte II) da figura 3, temos:

(2x - 10) + (4x +40) = 90

Termos semelhantes são agrupados para obter a equação:

6 x + 30 = 90

Dividindo os dois membros por 6, você obtém:

x + 5 = 15

Daí decorre que x = 10º.

Portanto:

A = 2 * 10 - 10 = 10º

B = 4 * 10 + 40 = 80º.

- Exercício 3

Determine os valores dos ângulos A e B da parte III) da Figura 3.

Solução

Novamente a figura é analisada cuidadosamente para encontrar os ângulos complementares. Nesse caso, temos que A + B = 90 graus. Substituindo a expressão de A e B como uma função de x dado na figura, temos:

(-x +45) + (4x -15) = 90

3 x + 30 = 90

A divisão de ambos os membros por 3 resulta no seguinte:

x + 10 = 30

Daí decorre que x = 20º.

Em outras palavras, o ângulo A = -20 +45 = 25º. E por sua vez: B = 4 * 20 -15 = 65º.

Ângulos laterais perpendiculares

Diz-se que dois ângulos têm lados perpendiculares se cada lado tiver uma perpendicular correspondente no outro. A figura a seguir esclarece o conceito:

Figura 4. Ângulos dos lados perpendiculares. Fonte: F. Zapata.

Na figura 4 são observados os ângulos α e θ, por exemplo. Agora observe que cada ângulo tem sua perpendicular correspondente no outro ângulo.

Observa-se também que α e θ têm o mesmo ângulo complementar z, portanto o observador conclui imediatamente que α e θ têm a mesma medida. Parece então que se dois ângulos têm lados perpendiculares entre si, eles são iguais, mas vamos olhar para outro caso.

Agora considere os ângulos α e ω. Esses dois ângulos também têm lados perpendiculares correspondentes, porém não podem ser considerados iguais, pois um é agudo e o outro obtuso.

Observe que ω + θ = 180º. Além disso, θ = α. Se você substituir esta expressão por z na primeira equação, obterá:

δ + α = 180º, onde δ e α são ângulos dos lados perpendiculares entre si.

Regra geral para ângulos de lados perpendiculares

1. Baldor, JA 1973. Geometria plana e espacial. Cultural da América Central.
2. Leis e fórmulas matemáticas. Sistemas de medição de ângulo. Recuperado de: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Plane Geometry. Recuperado de: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Ângulos complementares. Recuperado de: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Esteira. Recuperado de: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniómetro: história, peças, operação. Recuperado de: lifeder.com