ÂNGULOS INTERNOS E EXTERNOS CONJUGADOS: EXEMPLOS, EXERCÍCIOS - MATEMÁTICAS - 2024

Os conjugados dos ângulos são aqueles adicionados aos resultados para serem 360, independentemente dos referidos ângulos serem adjacentes ou não. Dois ângulos conjugados são mostrados na Figura 1, denotados por α e β.

Nesse caso, os ângulos α e β da figura possuem um vértice comum e seus lados são comuns, portanto, são adjacentes. A relação entre eles é expressa da seguinte forma:

α + β = 360º

Figura 1. Dois ângulos centrais conjugados, soma. Fonte: Wikimedia Commons. Nenhum autor legível por máquina fornecido. Thiago R Ramos assumiu (com base em reivindicações de direitos autorais). É uma classificação dos ângulos pela soma. Outras definições importantes incluem ângulos complementares, cuja soma é 90º, e ângulos suplementares, que totalizam 180º.

Por outro lado, consideremos agora duas linhas paralelas cortadas por uma secante, cujo arranjo é mostrado abaixo:

Figura 2. Linhas paralelas cortadas por uma secante. Fonte: F. Zapata.

As linhas MN e PQ são paralelas, enquanto a linha RS é secante, cruzando os paralelos em dois pontos. Como pode ser visto, esta configuração determina a formação de 8 ângulos, que foram denotados com letras minúsculas.

Bem, de acordo com a definição dada no início, os ângulos a, b, c e d são conjugados. E da mesma forma e, f, g e h são, uma vez que ambos os casos são verdadeiros:

a + b + c + d = 360º

E

e + f + g + h = 360º

Para esta configuração, dois ângulos são conjugados se estiverem do mesmo lado em relação à linha secante RS e ambos forem internos ou externos. No primeiro caso, falamos de ângulos conjugados internos, enquanto no segundo, eles são ângulos conjugados externos.

Exemplos

Na figura 2, os ângulos externos são aqueles que estão fora da região delimitada pelas linhas MN e PQ, eles são os ângulos A, B, G e H. Enquanto os ângulos que estão entre as duas linhas são C, D, E e F.

Agora é necessário analisar quais ângulos estão à esquerda e quais estão à direita da secante.

À esquerda de RS estão os ângulos A, C, E e G. E à direita estão os ângulos B, D, F e H.

Prosseguimos imediatamente para determinar os pares de ângulos conjugados, de acordo com a definição dada na seção anterior:

-A e G, externos e à esquerda de RS.

-D e F, interno e à direita do RS.

-B e H, externo e à direita do RS.

-C e E, interno e à esquerda do RS.

Propriedade de ângulos conjugados entre linhas paralelas

Os ângulos conjugados entre linhas paralelas são complementares, ou seja, sua soma é igual a 180º. Desta forma, para a figura 2, o seguinte é verdadeiro:

A + G = 180º

D + F = 180º

B + H = 180º

C + E = 180º

Os pares de ângulos correspondentes para linhas paralelas

São aquelas que estão do mesmo lado da linha secante, não são adjacentes e uma delas é interna e a outra externa. É importante visualizá-los, pois sua medida é a mesma, pois são ângulos opostos pelo vértice.

Voltando à figura 2, os pares de ângulos correspondentes são identificados como:

-A e E

-C e G

-B e F

-D e H

Ângulos internos de um quadrilátero

Quadriláteros são polígonos de 4 faces, entre eles o quadrado, o retângulo, o trapézio, o paralelogramo e o losango, por exemplo. Independentemente da forma, em qualquer uma delas é verdade que a soma de seus ângulos internos é de 360º, portanto atendem à definição dada no início.

Vamos ver alguns exemplos de quadriláteros e como calcular o valor de seus ângulos internos de acordo com as informações nas seções anteriores:

Exemplos

a) Três dos ângulos de um quadrilátero medem 75º, 110º e 70º. Quanto deve medir o ângulo restante?

b) Encontre o valor do ângulo ∠Q na figura 3 i.

c) Calcule a medida do ângulo ∠A na figura 3 ii.

Solução para

Seja α o ângulo que falta, está satisfeito que:

α + 75º + 110º + 70º = 360º → α = 105º

Solução b

A Figura 3i mostrada é um trapézio e dois de seus ângulos internos são retos, que foram marcados com um quadrado colorido nos cantos. Para este quadrilátero, é verificado o seguinte:

∠R + ∠S + ∠P + ∠Q = 360º; ∠S = ∠R = 90 °; ∠P = 60º

Portanto:

∠ Q = 2 x 90º + 60º = 240º

Solução c

O quadrilátero na figura 3 ii também é um trapézio, para o qual o seguinte é verdadeiro:

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360º

Portanto:

4x -5 + 3x + 10 +180 = 360

7x + 5 = 180

x = (180 - 5) / 7

x = 25

Para determinar o ângulo solicitado na declaração, usamos que ∠A = 4x - 5. Substituindo o valor calculado anteriormente de x segue que ∠A = (4 × 25) -5 = 95º

Exercícios

- Exercício 1

Sabendo que um dos ângulos mostrados é 125º, encontre as medidas dos 7 ângulos restantes na figura a seguir e justifique as respostas.

Figura 4. As linhas e ângulos do exercício 1. Fonte: F. Zapata.

Solução

O ângulo 6 e o ​​ângulo 125º são conjugados internos, cuja soma é 180º, de acordo com a propriedade dos ângulos conjugados, portanto:

∠6 + 125º = 180º → ∠6 = 180º - 125º = 55º

Por outro lado, ∠6 e ∠8 são ângulos opostos pelo vértice, cuja medida é a mesma. Portanto, ∠8 mede 55º.

O ângulo ∠1 também é oposto ao vértice a 125º, então podemos afirmar que ∠1 = 125º. Também podemos apelar para o fato de que os pares de ângulos correspondentes têm a mesma medida. Na figura, esses ângulos são:

∠7 = 125 º

∠2 = ∠6 = 55 º

∠1 = ∠5 = 125º

∠4 = ∠8 = 55 º

- Exercício 2

Encontre o valor de x na figura a seguir e os valores de todos os ângulos:

Figura 5. Linhas e ângulos para o exercício 2. Fonte: F. Zapata.

Solução

Como são pares correspondentes, segue-se que F = 73º. E por outro lado a soma dos pares conjugados é 180º, portanto:

3x + 20º + 73º = 180º

3x = 180º - 73º -20º = 87

Finalmente, o valor de x é:

x = 87/3 = 29

Quanto a todos os ângulos, eles estão listados na figura a seguir:

Figura 6. Ângulos resultantes do exercício 2. Fonte: F. Zapata.

Referências

1. Grupos de ângulos. Explicação dos ângulos complementares, suplementares e explicativos. Recuperado de: thisiget.com/
2. Baldor, A. 1983. Plane and Space Geometry and Trigonometry. Grupo Cultural Patria.
3. Corral, M. Mathematics LibreTexts: Angles. Recuperado de: math.libretexts.org.
4. Mathmania. Classificar e construir ângulos por sua medição. Recuperado de: mathemania.com/
5. Wentworth, G. Plane Geometry. Recuperado de: gutenberg.org.
6. Wikipedia. Ângulos conjugados. Recuperado de: es.wikipedia.org.