Os ângulos opostos pelo vértice são aqueles que cumprem o seguinte: os lados de um deles são as extensões dos lados do outro ângulo. O teorema dos ângulos dos vértices fundamentais é assim: Dois ângulos dos vértices têm a mesma medida.
Freqüentemente, a linguagem é abusada dizendo que os ângulos opostos ao vértice são iguais, o que não é correto. O fato de dois ângulos terem a mesma medida não significa que sejam iguais. É como dizer que duas crianças da mesma altura são iguais.
Figura 1. Ângulos opostos pelo vértice. Preparado por: Fanny Zapata.
Lembre-se de que um ângulo é definido como a figura geométrica composta por dois raios com a mesma origem.
A Figura 1 mostra o ângulo fOg (azul) composto pelo raio ).push ({});
Teorema dos ângulos do vértice
Original text
Formalmente, o teorema é afirmado desta forma:
Figura 4. α, β e γ são as medidas dos ângulos SOQ, QOR e ROP. Elaborado por: F. Zapata.
Demonstração
O ângulo SOQ tem medida α; o ângulo QOR tem medida β e o ângulo ROP tem medida γ. A soma do ângulo SOQ mais o QOR forma o ângulo plano SOR de medida 180º.
Quer dizer que:
α + β = 180º
Por outro lado e usando o mesmo raciocínio com os ângulos QOR e ROP, temos:
β + γ = 180º
Se olharmos para as duas equações anteriores, a única maneira de ambas valerem é α ser igual a γ.
Como SOQ tem medida α e é oposta pelo vértice à ROP de medida γ, e como α = γ, conclui-se que os ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida.
Exercício resolvido
Com referência à Figura 4: Suponha que β = 2 α. Encontre a medida dos ângulos SOQ, QOR e ROP em graus sexagesimais.
Solução
Como a soma do ângulo SOQ mais o QOR forma o ângulo plano SOR, temos:
α + β = 180º
Mas eles nos dizem que β = 2 α. Substituindo este valor de β temos:
α + 2 α = 180º
Quer dizer:
3 α = 180º
O que significa que α é a terceira parte de 180º:
α = (180º / 3) = 60º
Então a medida de SOQ é α = 60º. A medida de QOR é β = 2 α = 2 * 60º = 120º. Finalmente, como ROP é oposto pelo vértice a SOQ então de acordo com o teorema já provado eles têm a mesma medida. Ou seja, a medida de ROP é γ = α = 60º.
Referências
- Baldor, JA 1973. Plane and Space Geometry. Cultural da América Central.
- Leis e fórmulas matemáticas. Sistemas de medição de ângulo. Recuperado de: ingemecanica.com.
- Wikipedia. Ângulos opostos pelo vértice. Recuperado de: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Esteira. Recuperado de: es.wikipedia.com
- Zapata F. Goniómetro: história, peças, operação. Recuperado de: lifeder.com