NOTAÇÃO DESENVOLVIDA: O QUE É, EXEMPLOS E EXERCÍCIOS - MATEMÁTICAS - 2025

A notação desenvolvida é aquela em que um algarismo numérico é expresso como uma soma em que se leva em conta o valor posicional de cada dígito que compõe o número.

Por exemplo, quando você escreve uma figura como 2345, cada dígito possui uma hierarquia posicional. Lendo do dígito da extrema direita para a esquerda, a hierarquia ou valor cresce.

Figura 1. Com nove grafemas é possível representar qualquer número.

Na figura 2345, o dígito 5 representa cinco unidades, o dígito 4 representa quatro dezenas, o 3 corresponde à terceira posição da esquerda para a direita e, portanto, o 3 representa três centenas, finalmente o 2 representa dois mil. Em outras palavras, em notação desenvolvida ou estendida, a figura 2345 é escrita assim:

2345 = 2 mil + 3 centenas + 4 dezenas + 5 unidades

Mas também pode ser expresso da seguinte forma:

2345 = 2 x 1000 + 3 x 100 + 4 x 10 + 5 x 1.

Além disso, a figura 2345 pode ser escrita como a soma das potências de 10:

2345 = 2 x 10 ^ 3 + 3 x 10 ^ 2 + 4 x 10 ^ 1 + 5 x 10 ^ 0

Onde o circunflexo ^ significa aumentar para o expoente indicado. Por exemplo, 10 ^ 3 = 10 x 10 x 10 = 1000. Outra maneira de escrever os expoentes é usando um sobrescrito:

2345 = 2 x 10 ³ + 3 x 10 ² + 4 x 10 ¹ + 5 x 10 ⁰

Sistema de numeração posicional

O sistema de numeração arábica são os números usados ​​diariamente na grande maioria dos continentes e países do mundo. Os algarismos arábicos são um sistema de base 10 porque dez símbolos ou grafemas são usados ​​para escrever qualquer número. Esses dez símbolos são:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Com apenas um desses símbolos, números entre zero e nove podem ser expressos. Para expressar números maiores do que nove, o sistema posicional na base dez é usado. O número 10 é dez e zero uns. O número 11 é um dez e uma unidade. O número 123 (cento e vinte e três) é cem, duas dezenas e três unidades. Escrito na forma de potências de dez, o número 123 será:

1 × 10 ^ 2 + 2 × 10 ^ 1 + 3 × 10 ^ 0

Onde:

10 ^ 2 = 10 x 10 = 100

10 ^ 1 = 10

10 ^ 0 = 1.

Com este exemplo fica claro que a posição do dígito da extrema direita é a posição 0 e representa o número de unidades, a do segundo dígito da direita para a esquerda é a posição 1 e representa o número de dezenas, o terceiro dígito (da direita esquerda) tem a posição 2 e representa as centenas.

Figura 2. Notação desenvolvida da figura 123.

Números fracionários ou decimais

Com o sistema posicional decimal também é possível representar números ou algarismos menores que a unidade ou maiores que a unidade, mas não inteiros, ou seja, possuem frações da unidade.

Para representar a fração ½ no sistema decimal árabe, ou seja, metade da unidade, está escrito:

½ = 0,5

Para chegar a essa expressão em nosso sistema de base 10, as seguintes operações foram feitas implicitamente:

1- O numerador e o denominador são multiplicados por 5 para ter a fração equivalente 5/10 = 1/2.

2- Dividir por 10 equivale a multiplicar pela potência na base dez com expoente menos um (10 ^ -1), ou seja, 5/10 = 5 × 10 ^ -1.

3- O expoente negativo indica quantas vezes o dígito indicado é movido ou posicionado à direita da posição da unidade, no nosso caso seria 0,5.

4- ½ = 0,5 em notação estendida é escrito assim:

0,5 = 0x10 ^ 0 + 5 × 10 ^ -1

Onde 10 ^ -1 = 0,1 é um décimo (a fração correspondente à unidade dividida em 10 partes iguais).

Dessa forma, o número 0,5 corresponde a cinco décimos, mas o número 0,05 corresponde a 5 centésimos e 0,005 a 5 milésimos.

Exemplos de notação expandida

Exemplo 1

Dado a figura 40201 em notação padrão, converta-o para notação expandida.

Solução:

4 × 10000 + 0x1000 + 2 × 100 + 0x10 + 1 × 1 = 40201

Exemplo 2

Escreva a fração ¾ em notação estendida.

Solução:

Neste caso, você tem três quartos da unidade.

3/4 = 15/20 = 75/100 = 0,75 = 7/10 + 5/100 =

7 × 10 ^ -1 + 5 × 10 ^ -2.

Em palavras, seria assim:

A fração ¾ corresponde a sete décimos mais cinco centésimos.

Exercícios de notação desenvolvida

Exercício 1

Diga em palavras a expressão expandida do número 40201 do exemplo 1.

Solução:

A notação desenvolvida é assim:

40201 = 4 × 10000 + 0x1000 + 2 × 100 + 0x10 + 1 × 1

Que em linguagem de palavras se diz:

Quatro dezenas de milhares, mais zero mil, mais duzentos, mais zero dezenas, mais uma unidade.

Exercício 2

Expresse a figura anterior em palavras e divida a frase correspondente de forma expandida.

Solução:

A figura 40201 em palavras é expressa assim:

Quarenta mil duzentos e um

A frase anterior pode ser desenvolvida como:

40 × 1000 + 2 × 100 + 1

Pode-se dizer que a forma de pronunciar as figuras é uma forma semi-desenvolvida de expressá-la.

Exercício 3

Escreva o número 7/3 na forma expandida.

Solução:

É um valor expresso como uma fração imprópria, pois como o numerador é maior que o denominador, o valor é maior que a unidade.

Esta fração imprópria pode ser decomposta como a soma das frações 6/3 + 1/3. A primeira das frações resulta em um inteiro 2, enquanto 1/3 = 0,333333, onde o dígito 3 se repete indefinidamente. Portanto, a expressão decimal expandida da figura 7/3 será sempre uma expressão aproximada:

7/3 = 2 + 1/3 ≃ 2 + 0,333 = 2 + 3 × 10 ^ -1 + 3 × 10 ^ -2 + 3 × 10 ^ -3.

Exercício 6

Escreva em notação padrão e depois em forma expandida o número: vinte e três bilhões duzentos e cinquenta milhões quinhentos e vinte e seis mil trezentos e vinte e cinco e três vinte e três milésimos.

Solução:

Deve ser lembrado que um bilhão é o equivalente a um bilhão. A palavra bilhões foi aceita pela Real Academia Espanhola em 1995 a pedido do falecido presidente venezuelano Rafael Caldera, membro da Academia Venezuelana da Língua. Nesse caso, a figura para o exercício em notação padrão é escrita assim:

23,2501526,325,023

23 bilhões + 250 milhões + 526 mil + 325 unidades + 23 milésimos.

23 × 10 ^ 9 + 250 × 10 ^ 6 + 526 × 10 ^ 3 + 325 × 10 ^ 0 + 23 × 10 ^ -3

Finalmente, a figura é escrita em notação expandida:

2 × 10 ^ 10 + 3 × 10 ^ 9 + 2 × 10 ^ 8 + 5 × 10 ^ 7 + 0x10 ^ 6 + 5 × 10 ^ 5 + 2 × 10 ^ 4 + 6 × 10 ^ 3 + 3 × 10 ^ 2 + 2 × 10 ^ 1 + 5 × 10 ^ 0 + 0x10 ^ -1 + 2 × 10 ^ -2 + 3 × 10 ^ -3.

Referências

1. Khan Academy. Coloque gráficos de valor. Recuperado de: es.khanacademy.org
2. Khan Academy. Escreva um número em formato expandido (vídeo). Recuperado de: es.khanacademy.org
3. Ifrah, Geoges (1998): História universal das figuras. Espasa Calpe SA
4. Wikipedia. Notação posicional. Recuperado de: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Bilhão. Recuperado de: es.wikipedia.com