- Definição
- Caracteristicas
- Côncavo ou convexo
- Arestas
- Apótema
- Denotações
- Como calcular a área? Fórmulas
- Cálculo em pirâmides hexagonais irregulares
- Como calcular o volume? Fórmulas
- Cálculo em pirâmides hexagonais irregulares
- Exemplo
- Solução
- Referências
Uma pirâmide hexagonal é um poliedro formado por um hexágono, que é a base, e seis triângulos que partem dos vértices do hexágono e se encontram em um ponto fora do plano que contém a base. Esse ponto de simultaneidade é conhecido como vértice ou ápice da pirâmide.
Um poliedro é um corpo geométrico tridimensional fechado cujas faces são figuras planas. Um hexágono é uma figura plana fechada (polígono) composta de seis lados. Se todos os seis lados têm o mesmo comprimento e formam ângulos iguais, é dito que é regular; caso contrário, é irregular.
Definição
Uma pirâmide hexagonal contém sete faces, a base e os seis triângulos laterais, dos quais a base é a única que não toca o vértice.
A pirâmide é considerada reta se todos os triângulos laterais forem isósceles. Nesse caso, a altura da pirâmide é o segmento que vai do vértice ao centro do hexágono.
Em geral, a altura de uma pirâmide é a distância entre o vértice e o plano da base. A pirâmide é considerada oblíqua se nem todos os triângulos laterais forem isósceles.
Se o hexágono for regular e a pirâmide também for reta, diz-se que é uma pirâmide hexagonal regular. Da mesma forma, se o hexágono é irregular ou a pirâmide é oblíqua, diz-se que é uma pirâmide hexagonal irregular.
Caracteristicas
Côncavo ou convexo
Um polígono é convexo se a medida de todos os ângulos internos for inferior a 180 graus. Geometricamente, isso equivale a dizer que, dado um par de pontos dentro do polígono, o segmento de reta que os une está contido no polígono. Caso contrário, o polígono é côncavo.
Se o hexágono for convexo, a pirâmide é considerada uma pirâmide hexagonal convexa. Caso contrário, será considerada uma pirâmide hexagonal côncava.
Arestas
As arestas de uma pirâmide são os lados dos seis triângulos que a compõem.
Apótema
O apótema da pirâmide é a distância entre o vértice e os lados da base da pirâmide. Essa definição só faz sentido quando a pirâmide é regular, pois se for irregular, essa distância varia dependendo do triângulo que for considerado.
Por outro lado, nas pirâmides regulares o apótema corresponderá à altura de cada triângulo (já que cada um é isósceles) e será o mesmo em todos os triângulos.
O apótema da base é a distância entre um dos lados da base e o centro dela. Da forma como é definido, o apótema da base também faz sentido apenas em pirâmides regulares.
Denotações
A altura de uma pirâmide hexagonal será denotada por h, a apótema da base (no caso regular) por APb e a apótema da pirâmide (também no caso regular) por AP.
Uma característica de pirâmides hexagonais regulares é que h, APB, e AP formar um triângulo retângulo com hipotenusa AP e pernas h e APB. Pelo teorema de Pitágoras, temos que AP = √ (h ^ 2 + APb ^ 2).
A imagem acima representa uma pirâmide regular.
Como calcular a área? Fórmulas
Considere uma pirâmide hexagonal regular. Seja A a medida de cada lado do hexágono. Então A corresponde à medida da base de cada triângulo da pirâmide e, portanto, às arestas da base.
A área de um polígono é o produto do perímetro (a soma dos lados) e o apótema da base, dividido por dois. No caso de um hexágono, seria 3 * A * APb.
Pode-se observar que a área de uma pirâmide hexagonal regular é igual a seis vezes a área de cada triângulo da pirâmide mais a área da base. Conforme mencionado anteriormente, a altura de cada triângulo corresponde ao apótema da pirâmide, AP.
Portanto, a área de cada triângulo da pirâmide é dada por A * AP / 2. Assim, a área de uma pirâmide hexagonal regular é 3 * A * (APb + AP), onde A é uma aresta da base, APb é a apotema da base e AP a apotema da pirâmide.
Cálculo em pirâmides hexagonais irregulares
No caso de uma pirâmide hexagonal irregular não existe uma fórmula direta para calcular a área como no caso anterior. Isso ocorre porque cada triângulo da pirâmide terá uma área diferente.
Neste caso, a área de cada triângulo deve ser calculada separadamente e a área da base. Então, a área da pirâmide será a soma de todas as áreas calculadas anteriormente.
Como calcular o volume? Fórmulas
O volume de uma pirâmide de formato hexagonal regular é o produto da altura da pirâmide e da área da base dividida por três. Assim, o volume de uma pirâmide hexagonal regular é dado por A * APb * h, onde A é uma aresta da base, APb é o apótema da base eh é a altura da pirâmide.
Cálculo em pirâmides hexagonais irregulares
Analogamente à área, no caso de uma pirâmide hexagonal irregular não existe uma fórmula direta para calcular o volume, pois as bordas da base não têm a mesma medida por se tratar de um polígono irregular.
Neste caso, a área da base deve ser calculada separadamente e o volume será (h * Área da base) / 3.
Exemplo
Encontre a área e o volume de uma pirâmide hexagonal regular com uma altura de 3 cm, cuja base é um hexágono regular de 2 cm de cada lado e o apótema da base é de 4 cm.
Solução
Primeiro, o apótema da pirâmide (AP) deve ser calculado, que é o único dado que falta. Observando a imagem acima, pode-se observar que a altura da pirâmide (3 cm) e o apótema da base (4 cm) formam um triângulo retângulo; Portanto, para calcular o apótema da pirâmide, o teorema de Pitágoras é usado:
AP = √ (3 ^ 2 + 9 ^ 2) = √ (25) = 5.
Assim, usando a fórmula escrita acima, segue-se que a área é igual a 3 * 2 * (4 + 5) = 54 cm ^ 2.
Por outro lado, usando a fórmula do volume, obtém-se que o volume da pirâmide dada é 2 * 4 * 3 = 24cm ^ 3.
Referências
- Billstein, R., Libeskind, S., & Lott, JW (2013). Matemática: uma abordagem de solução de problemas para professores do ensino fundamental. Editores López Mateos.
- Fregoso, RS, & Carrera, SA (2005). Matemática 3. Editorial Progreso.
- Gallardo, G., & Pilar, PM (2005). Matemática 6. Editorial Progreso.
- Gutiérrez, CT e Cisneros, MP (2005). 3º Curso de Matemática. Editorial Progreso.
- Kinsey, L., & Moore, TE (2006). Simetria, forma e espaço: uma introdução à matemática através da geometria (ilustrado, ed. Reimpressa). Springer Science & Business Media.
- Mitchell, C. (1999). Dazzling Math Line Designs (edição ilustrada). Scholastic Inc.
- R., MP (2005). Eu desenho o 6º. Editorial Progreso.