POLÍGONO CONVEXO: DEFINIÇÃO, ELEMENTOS, PROPRIEDADES, EXEMPLOS - MATEMÁTICAS - 2024

Um polígono convexo é uma figura geométrica contida em um plano que se caracteriza por ter todas as suas diagonais em seu interior e seus ângulos medem menos de 180º. Entre suas propriedades estão as seguintes:

1) Consiste em n segmentos consecutivos onde o último dos segmentos se junta ao primeiro. 2) Nenhum dos segmentos se cruza de forma a delimitar o plano em uma região interna e outra externa. 3) Todo e qualquer ângulo na região interior é estritamente menor que um ângulo plano.

Figura 1. Os polígonos 1, 2 e 6 são convexos. (Elaborado por Ricardo Pérez).

Uma maneira simples de determinar se um polígono é convexo ou não é considerar a linha que passa por um de seus lados, o que determina dois semiplanos. Se em cada linha que passa por um lado, os outros lados do polígono estão no mesmo semiplano, então é um polígono convexo.

Elementos de um polígono

Cada polígono consiste nos seguintes elementos:

- Lados

- Vértices

Os lados são cada um dos segmentos consecutivos que compõem o polígono. Em um polígono nenhum dos segmentos que o compõem pode ter extremidade aberta, nesse caso haveria uma linha poligonal, mas não um polígono.

Os vértices são os pontos de junção de dois segmentos consecutivos. Em um polígono, o número de vértices sempre é igual ao número de lados.

Se dois lados ou segmentos de um polígono se cruzam, você tem um polígono cruzado. O ponto de cruzamento não é considerado um vértice. Um polígono cruzado é um polígono não convexo. Os polígonos em estrela são polígonos cruzados e, portanto, não são convexos.

Quando um polígono tem todos os lados do mesmo comprimento, então temos um polígono regular. Todos os polígonos regulares são convexos.

Polígonos convexos e não convexos

A Figura 1 mostra vários polígonos, alguns deles convexos e outros não. Vamos analisá-los:

O número 1 é um polígono de três lados (triângulo) e todos os ângulos internos são menores que 180º, portanto é um polígono convexo. Todos os triângulos são polígonos convexos.

O número 2 é um polígono de quatro lados (quadrilátero) onde nenhum dos lados se cruzam e cada ângulo interno é menor que 180º. É então um polígono convexo com quatro lados (quadrilátero convexo).

Por outro lado, o número 3 é um polígono com quatro lados, mas um de seus ângulos internos é maior que 180º, portanto não atende à condição de convexidade. Ou seja, é um polígono não convexo de quatro lados denominado quadrilátero côncavo.

O número 4 é um polígono com quatro segmentos (lados), dois dos quais se cruzam. Os quatro ângulos internos são menores que 180º, mas como os dois lados se cruzam, é um polígono cruzado não convexo (quadrilátero cruzado).

Outro caso é o número 5. Este é um polígono com cinco lados, mas como um de seus ângulos internos é maior que 180º, temos um polígono côncavo.

Por fim, o número 6, que também tem cinco lados, tem todos os ângulos internos menores que 180º, portanto é um polígono convexo com cinco lados (pentágono convexo).

Propriedades do polígono convexo

1- Um polígono não cruzado ou polígono simples divide o plano que o contém em duas regiões. A região interna e a região externa, o polígono sendo a fronteira entre as duas regiões.

Mas se o polígono for adicionalmente convexo, então temos uma região interna que é simplesmente conectada, o que significa que, tomando quaisquer dois pontos da região interna, ele sempre pode ser unido por um segmento que pertence inteiramente à região interna.

Figura 2. Um polígono convexo é simplesmente conectado, enquanto um côncavo não. (Elaborado por Ricardo Pérez).

2- Todo ângulo interno de um polígono convexo é menor que um ângulo plano (180º).

3- Todos os pontos interiores de um polígono convexo pertencem sempre a um dos semiplanos definidos pela linha que passa por dois vértices consecutivos.

4- Em um polígono convexo todas as diagonais estão totalmente contidas na região poligonal interna.

5- Os pontos internos de um polígono convexo pertencem inteiramente ao setor angular convexo definido por cada ângulo interno.

6- Todo polígono em que todos os seus vértices estão em uma circunferência é um polígono convexo que é denominado polígono cíclico.

7- Todo polígono cíclico é convexo, mas nem todo polígono convexo é cíclico.

8- Qualquer polígono não cruzado (polígono simples) que tenha todos os seus lados de igual comprimento é convexo e é conhecido como polígono regular.

Diagonais e ângulos em polígonos convexos

9- O número total N de diagonais de um polígono convexo com n lados é dado pela seguinte fórmula:

N = ½ n (n - 3)

Prova: Em um polígono convexo com n lados de cada vértice, desenham-se n - 3 diagonais, já que o próprio vértice e os dois adjacentes são excluídos. Como existem n vértices, um total de n (n - 2) diagonais são desenhados, mas cada diagonal foi desenhada duas vezes, então o número de diagonais (sem repetição) é n (n-2) / 2.

10- A soma S dos ângulos internos de um polígono convexo com n lados é dada pela seguinte relação:

S = (n - 2) 180º

Exemplos

Exemplo 1

O hexágono cíclico é um polígono com seis lados e seis vértices, mas todos os vértices estão na mesma circunferência. Todo polígono cíclico é convexo.

Hexágono cíclico.

Exemplo 2

Determine o valor dos ângulos internos de um enegon regular.

Solução: O enegon é um polígono de 9 lados, mas se também for regular, todos os seus lados e ângulos são iguais.

A soma de todos os ângulos internos de um polígono de 9 lados é:

S = (9 - 2) 180º = 7 * 180º = 1260º

Mas existem 9 ângulos internos de igual medida α, então a seguinte igualdade deve ser cumprida:

S = 9 α = 1260º

Daí se segue que a medida α de cada ângulo interno do enegon regular é:

α = 1260º / 9 = 140º