PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO: TÉCNICAS DE CONTAGEM E EXEMPLOS - MATEMÁTICAS - 2025

O princípio multiplicativo é uma técnica usada para resolver problemas de contagem para encontrar a solução sem ter que listar seus elementos. É também conhecido como o princípio fundamental da análise combinatória; é baseado em multiplicações sucessivas para determinar como um evento pode ocorrer.

Este princípio estabelece que, se uma decisão (d ₁) pode ser feita de n maneiras e outra decisão (d ₂) pode ser feita de várias maneiras, o número total de maneiras pelas quais as decisões d ₁ ed ₂ podem ser feitas será igual para multiplicar de n _* m. De acordo com o princípio, cada decisão é tomada uma após a outra: número de maneiras = N _{1 *} N ₂ … _* N _x maneiras.

Exemplos

Exemplo 1

Paula planeja ir ao cinema com as amigas, e para escolher a roupa que ela vai vestir, separo 3 blusas e 2 saias. De quantas maneiras Paula pode se vestir?

Solução

Nesse caso, Paula deve tomar duas decisões:

d ₁ = Escolha entre 3 blusas = n

d ₂ = Escolha entre 2 saias = m

Dessa forma, Paula tem n _* decisões m para fazer ou maneiras diferentes de se vestir.

n _* m = 3 _* 2 = 6 decisões.

O princípio multiplicativo nasce da técnica do diagrama de árvore, que é um diagrama que relaciona todos os resultados possíveis, de forma que cada um pode ocorrer um número finito de vezes.

Exemplo 2

Mario estava com muita sede, então foi à padaria comprar suco. Luis cuida dele e diz que se trata de dois tamanhos: grande e pequeno; e quatro sabores: maçã, laranja, limão e uva. De quantas maneiras Mario pode escolher o suco?

Solução

No diagrama pode-se observar que Mario possui 8 formas diferentes de escolher o suco e que, como no princípio multiplicativo, este resultado é obtido multiplicando n _* m. A única diferença é que através deste diagrama você pode ver como são as maneiras como Mario escolhe o suco.

Por outro lado, quando o número de resultados possíveis é muito grande, é mais prático usar o princípio multiplicativo.

Técnicas de contagem

Técnicas de contagem são métodos usados ​​para fazer uma contagem direta e, portanto, saber o número de arranjos possíveis que os elementos de um determinado conjunto podem ter. Essas técnicas são baseadas em vários princípios:

Princípio de adição

Este princípio afirma que, se dois eventos m e n não podem ocorrer ao mesmo tempo, o número de maneiras pelas quais o primeiro ou o segundo evento pode ocorrer será a soma de m + n:

Número de formas = m + n… + x formas diferentes.

Exemplo

Antonio quer fazer uma viagem, mas não decide para qual destino; na Southern Tourism Agency oferecem uma promoção para viajar a Nova York ou Las Vegas, enquanto a Eastern Tourism Agency recomenda viajar para a França, Itália ou Espanha. Quantas alternativas de viagem Antonio oferece a você?

Solução

Com a Southern Tourism Agency, Antonio tem 2 alternativas (Nova York ou Las Vegas), enquanto com a Eastern Tourism Agency tem 3 opções (França, Itália ou Espanha). O número de alternativas diferentes é:

Número de alternativas = m + n = 2 + 3 = 5 alternativas.

Princípio de permutação

Trata-se de ordenar especificamente todos ou alguns dos elementos que compõem um conjunto, de forma a facilitar a contagem de todos os arranjos possíveis que podem ser feitos com os elementos.

O número de permutações de n elementos diferentes, tomados todos de uma vez, é representado como:

_n P _n = n!

Exemplo

Quatro amigos querem tirar uma foto e saber de quantas maneiras diferentes eles podem ser arranjados.

Solução

Você deseja saber o conjunto de todas as maneiras possíveis em que as 4 pessoas podem ser posicionadas para tirar a foto. Assim, você deve:

₄ P ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 formas diferentes.

Se o número de permutações de n elementos disponíveis for tomado por partes de um conjunto que é composto de r elementos, ele é representado como:

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Exemplo

Em uma sala de aula há 10 assentos. Se 4 alunos frequentam a aula, de quantas maneiras diferentes os alunos podem preencher as vagas?

Solução

Temos que o número total do conjunto de cadeiras é 10, e destes apenas 4. A fórmula dada é aplicada para determinar o número de permutações:

_n P _r = n! ÷ (n - r)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ 6!

₁₀ P ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 5040 maneiras de preencher as posições.

Existem casos em que alguns dos elementos disponíveis de um conjunto são repetidos (são os mesmos). Para calcular o número de matrizes levando todos os elementos ao mesmo tempo, a seguinte fórmula é usada:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

Exemplo

Quantas palavras diferentes de quatro letras podem ser formadas a partir da palavra "lobo"?

Solução

Neste caso, existem 4 elementos (letras), dos quais dois são exatamente iguais. Aplicando a fórmula dada, sabe-se quantas palavras diferentes resultam:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

₄ P _{2, 1,1} = 4! ÷ 2! _* 1! _* 1!

₄ P _{2, 1, 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) ÷ (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ P _{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 palavras diferentes.

Princípio de combinação

Trata-se de organizar todos ou alguns dos elementos que formam um conjunto sem uma ordem específica. Por exemplo, se você tiver um arranjo XYZ, ele será idêntico aos arranjos ZXY, YZX, ZYX, entre outros; isso porque, apesar de não estarem na mesma ordem, os elementos de cada arranjo são os mesmos.

Quando alguns elementos (r) são retirados do conjunto (n), o princípio da combinação é dado pela seguinte fórmula:

_n C _{r =} n! ÷ (n - r)! R!

Exemplo

Em uma loja, eles vendem 5 tipos diferentes de chocolate. De quantas maneiras diferentes 4 chocolates podem ser escolhidos?

Solução

Neste caso, 4 chocolates devem ser escolhidos entre os 5 tipos que vendem na loja. A ordem em que são escolhidos não importa e, além disso, um tipo de chocolate pode ser escolhido mais de duas vezes. Aplicando a fórmula, você deve:

_n C _r = n! ÷ (n - r)! R!

₅ C ₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅ C ₄ = 5! ÷ (1)! 4!

₅ C ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 4 _* 3 _* 2 _* 1

₅ C ₄ = 120 ÷ 24 = 5 maneiras diferentes de escolher 4 chocolates.

Quando todos os elementos (r) do conjunto (n) são tomados, o princípio de combinação é dado pela seguinte fórmula:

_n C _{n =} n!

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Existe um time de beisebol com 14 membros. De quantas maneiras 5 posições podem ser atribuídas a um jogo?

Solução

O conjunto é composto por 14 elementos e você deseja atribuir 5 posições específicas; isto é, a ordem é importante. A fórmula de permutação é aplicada onde n elementos disponíveis são tomados por partes de um conjunto formado por r.

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Onde n = 14 e r = 5. É substituído na fórmula:

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄ P ₅ = 240 240 maneiras de atribuir as 9 posições de jogo.

Exercício 2

Se uma família de 9 pessoas fizer uma viagem e comprar suas passagens com assentos consecutivos, de quantas maneiras diferentes eles podem se sentar?

Solução

São cerca de 9 elementos que ocuparão 9 assentos consecutivamente.

P ₉ = 9!

P ₉ = 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 362 880 modos diferentes de sentar.

Referências

1. Hopkins, B. (2009). Recursos para o ensino de matemática discreta: projetos de sala de aula, módulos de história e artigos.
2. Johnsonbaugh, R. (2005). Matemática discreta. Pearson Education,.
3. Lutfiyya, LA (2012). Solucionador de problemas matemáticos finitos e discretos. Editores da Associação de Pesquisa e Educação.
4. Padró, FC (2001). Matemática discreta. Politèc. da Catalunha.
5. Steiner, E. (2005). Matemática para ciências aplicadas. Reverte.