PROPRIEDADE ASSOCIATIVA: ADIÇÃO, MULTIPLICAÇÃO, EXEMPLOS, EXERCÍCIOS - MATEMÁTICAS - 2025

A propriedade associativa de adição representa o caráter associativo da operação de adição em vários conjuntos matemáticos. Nele, três (ou mais) elementos dos referidos conjuntos estão relacionados, chamados a, b e c, de forma que seja sempre verdadeiro:

a + (b + c) = (a + b) + c

Desta forma, garante-se que, independentemente da forma de agrupamento para efetuar a operação, o resultado é o mesmo.

Figura 1. Usamos a propriedade associativa de adição muitas vezes ao fazer operações aritméticas e algébricas. (Desenho: freepik Composição: F. Zapata)

Mas deve-se notar que a propriedade associativa não é sinônimo de propriedade comutativa. Ou seja, sabemos que a ordem dos adendos não altera a soma ou que a ordem dos fatores não altera o produto. Portanto, a soma pode ser escrita assim: a + b = b + a.

Porém, na propriedade associativa é diferente, pois a ordem dos elementos a serem adicionados é mantida e o que muda é a operação que é executada primeiro. O que significa que adicionar primeiro (b + c) e adicionar a a esse resultado não importa do que começar adicionando a com by ao resultado adicionando c.

Muitas operações importantes, como adição, são associativas, mas não todas. Por exemplo, na subtração de números reais acontece que:

a - (b - c) ≠ (a - b) - c

Se a = 2, b = 3, c = 1, então:

2– (3 - 1) ≠ (2 - 3) - 1

0 ≠ -2

Propriedade associativa de multiplicação

Como foi feito para a adição, a propriedade associativa da multiplicação afirma que:

a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c

No caso do conjunto de números reais, é fácil verificar que sempre é assim. Por exemplo, usando os valores a = 2, b = 3, c = 1, temos:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟ 3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

Os números reais cumprem a propriedade associativa de adição e multiplicação. Por outro lado, em outro conjunto, como o de vetores, a soma é associativa, mas o produto vetorial ou produto vetorial não.

Aplicações da propriedade associativa de multiplicação

Uma vantagem das operações em que a propriedade associativa é satisfeita é poder agrupar da maneira mais conveniente. Isso torna a resolução muito mais fácil.

Por exemplo, suponha que em uma pequena biblioteca haja 3 estantes com 5 estantes cada. Em cada estante existem 8 livros. Quantos livros existem ao todo?

Podemos realizar a operação assim: total de livros = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 livros.

Ou assim: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 livros.

Figura 2. Uma aplicação da propriedade associativa da multiplicação é calcular o número de livros em cada estante. Imagem criada por F. Zapata.

Exemplos

- Em conjuntos de números naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, as propriedades associativas de adição e multiplicação são cumpridas.

Figura 3. Para números reais, a propriedade associativa de adição é satisfeita. Fonte: Wikimedia Commons.

- Para polinômios, eles também se aplicam a essas operações.

- Nos casos de operações de subtração, divisão e exponenciação, a propriedade associativa não é válida para números reais ou polinômios.

-No caso de matrizes, a propriedade associativa é cumprida para adição e multiplicação, embora neste último caso, a comutatividade não seja cumprida. Isso significa que, dadas as matrizes A, B e C, é verdade que:

(A x B) x C = A x (B x C)

Mas… A x B ≠ B x A

A propriedade associativa em vetores

Os vetores formam um conjunto diferente dos números reais ou complexos. As operações definidas para o conjunto de vetores são um tanto diferentes: há adição, subtração e três tipos de produtos.

A soma dos vetores cumpre a propriedade associativa, assim como os números, polinômios e matrizes. Quanto aos produtos escalares, escalar por vetor e cruzamento que se fazem entre vetores, este último não o cumpre, mas o produto escalar, que é outro tipo de operação entre vetores, o cumpre, levando em consideração o seguinte:

-O produto de um escalar e um vetor resulta em um vetor.

-E quando se multiplica escalarmente dois vetores, um escalar resulta.

Portanto, dados os vetores v, u e w, e adicionalmente um escalar λ, é possível escrever:

- Soma de vetores: v + (u + w) = (v + u) + w

-Produto escalar: λ (v • u) = (λ v) • u

Este último é possível graças ao fato de que v • u é um escalar e λ v é um vetor.

Porém:

v × (u × w) ≠ (v × u) × w

Fatoração de polinômios por agrupamento de termos

Esta aplicação é muito interessante, pois como foi dito antes, a propriedade associativa ajuda a resolver alguns problemas. A soma dos monômios é associativa e pode ser usada para fatoração quando um fator comum óbvio não aparece à primeira vista.

Por exemplo, suponha que você seja solicitado a fatorar: x ³ + 2 x ² + 3 x +6. Este polinômio não tem fator comum, mas vamos ver o que acontece se ele for agrupado assim:

O primeiro parêntese tem um fator comum de eixo ²:

No segundo, o fator comum é 3:

Exercícios

- Exercício 1

O prédio da escola tem 4 andares e cada um tem 12 salas de aula com 30 carteiras internas. Quantas carteiras a escola tem no total?

Solução

Este problema é resolvido aplicando a propriedade associativa da multiplicação, vejamos:

Número total de carteiras = 4 andares x 12 salas de aula / andar x 30 carteiras / sala de aula = (4 x 12) x 30 carteiras = 48 x 30 = 1440 carteiras.

Ou se preferir: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 mesas

- Exercício 2

Dados os polinômios:

A (x) = 5x ³ + 2x ² -7x + 1

B (x) = x ⁴ + 6x ³ -5x

C (x) = -8x ² + 3x -7

Aplique a propriedade associativa de adição para encontrar A (x) + B (x) + C (x).

Solução

Você pode agrupar os dois primeiros e adicionar o terceiro ao resultado:

A (x) + B (x) = + = x ⁴ + 11x ³ + 2x ² -12x +1

Imediatamente o polinômio C (x) é adicionado:

+ = x ⁴ + 11x ³ - 6x ² -9x -6

O leitor pode verificar que o resultado é idêntico se for resolvido pela opção A (x) +.

Referências

1. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
2. Matemática é Diversão. Leis comutativas, associativas e distributivas. Recuperado de: mathisfun.com.
3. Armazém de matemática. Definição de propriedade associativa. Recuperado de: mathwarehouse.com.
4. Ciência. Propriedade associativa e comutativa de adição e multiplicação (com exemplos). Recuperado de: sciencing.com.
5. Wikipedia. Propriedade associativa. Recuperado de: en.wikipedia.org.