PROPORCIONALIDADE COMPOSTA: EXPLICAÇÃO, REGRA COMPOSTA DE TRÊS, EXERCÍCIOS - MATEMÁTICAS - 2025

A proporcionalidade composta ou múltipla é a razão de mais de duas magnitudes, que pode ser observada diretamente e a proporcionalidade inversa entre os dados e o desconhecido. Esta é uma versão mais avançada da proporcionalidade simples, embora as técnicas utilizadas em ambos os procedimentos sejam semelhantes.

Por exemplo, se 7 pessoas são necessárias para descarregar 10 toneladas de mercadoria em 3 horas, a proporcionalidade composta pode ser usada para calcular quantas pessoas serão necessárias para descarregar 15 toneladas em 4 horas.

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Para responder a esta pergunta, é conveniente fazer uma tabela de valores para estudar e relacionar as magnitudes e incógnitas.

Passamos a analisar os tipos de relações entre cada magnitude e o presente desconhecido, que para este caso corresponde ao número de pessoas que irão trabalhar.

À medida que o peso da mercadoria aumenta, aumenta também o número de pessoas necessárias para descarregá-la. Por isso, a relação entre peso e trabalhadores é direta.

Por outro lado, à medida que aumenta o número de trabalhadores, diminui a jornada de trabalho. Por isso, a relação entre pessoas e jornada de trabalho é do tipo inverso.

Como calcular proporcionalidades compostas

Para resolver exemplos como o acima, o método da regra de três compostos é mais usado. Consiste em estabelecer os tipos de relações entre quantidades e incógnitas e, em seguida, representar um produto entre frações.

Com relação ao exemplo inicial, as frações correspondentes à tabela de valores estão organizadas da seguinte forma:

Mas antes de resolver e resolver o desconhecido, as frações correspondentes à relação inversa devem ser invertidas. Que neste caso correspondem ao tempo variável. Desta forma, a operação a ser resolvida será:

Cuja única diferença é a inversão da fração correspondente à variável de tempo 4/3. Prosseguimos para operar e limpar o valor de x.

Assim, são necessárias mais de onze pessoas para poder descarregar 15 toneladas de mercadorias em 4 horas ou menos.

Explicação

Proporcionalidade é a relação constante entre as grandezas sujeitas a mudanças, que serão simétricas para cada uma das grandezas envolvidas. Existem relações direta e inversamente proporcionais, definindo assim os parâmetros de proporcionalidade simples ou composta.

Regra de três direta

Consiste em uma relação de proporção entre variáveis, que apresentam o mesmo comportamento quando modificadas. É muito frequente no cálculo de percentagens referentes a magnitudes diferentes de cem, onde se aprecia a sua estrutura fundamental.

A título de exemplo, podem ser calculados 15% de 63. À primeira vista, esta percentagem não pode ser facilmente avaliada. Mas implementando a regra de três, pode-se fazer a seguinte relação: se 100% for 63, então 15%, quanto será?

100% ---- 63

15% ---– X

E a operação correspondente é:

(15%. 63) / 100% = 9,45

Onde os sinais de porcentagem são simplificados e obtém-se a figura 9.45, que representa 15% de 63.

Regra inversa de três

Como o próprio nome indica, neste caso a relação entre as variáveis ​​é oposta. A relação inversa deve ser estabelecida antes de proceder ao cálculo. Seu procedimento é homólogo ao da regra direta de três, exceto quanto ao investimento na fração a ser apurada.

Por exemplo, 3 pintores precisam de 5 horas para terminar uma parede. Em quantas horas 4 pintores o terminariam?

Nesse caso, a relação é inversa, pois à medida que aumenta o número de pintores, o tempo de trabalho deve diminuir. O relacionamento é estabelecido;

3 pintores - 5 horas

4 pintores - X horas

À medida que o relacionamento é revertido, a ordem de operação é revertida. Sendo este o caminho correto;

(3 pintores). (5 horas) / 4 pintores = 3,75 horas

O termo pintores é simplificado, e o resultado são 3,75 horas.

Doença

Para estar na presença de uma proporcionalidade composta ou múltipla, é necessário encontrar os dois tipos de relação entre magnitudes e variáveis.

- Direto: A variável tem o mesmo comportamento da incógnita. Ou seja, quando um aumenta ou diminui, o outro é alterado igualmente.

- Inverso: a variável tem um comportamento antônimo ao da incógnita. A fração que define a referida variável na tabela de valores deve ser invertida, de forma a representar a relação inversamente proporcional entre variável e desconhecida.

Verificação de resultados

É muito comum confundir a ordem de magnitudes ao trabalhar com proporções compostas, ao contrário do que acontece nos cálculos de proporção usuais, cuja natureza é principalmente direta e solucionável por meio de uma regra de três simples.

Por esse motivo, é importante examinar a ordem lógica dos resultados, verificando a coerência das figuras produzidas pela regra de três composta.

No exemplo inicial, cometer tal erro resultaria em 20 como resultado. Ou seja, 20 pessoas para descarregar 15 toneladas de mercadoria em 4 horas.

À primeira vista não parece um resultado maluco, mas é curioso um aumento de quase 200% no quadro de funcionários (de 7 para 20 pessoas) quando o aumento da mercadoria é de 50%, e mesmo com uma margem de tempo maior para realizar o trabalho.

Assim, a verificação lógica dos resultados representa uma etapa importante na implementação da regra de três composta.

Liberação

Embora de natureza mais básica no que diz respeito ao treinamento matemático, a folga representa um passo importante nos casos de proporcionalidade. Uma folga errada é suficiente para invalidar qualquer resultado obtido na regra de três simples ou composta.

História

A regra de três ficou conhecida no Ocidente por meio dos árabes, com publicações de diversos autores. Entre eles Al-Jwarizmi e Al-Biruni.

Al-Biruni, graças ao seu conhecimento multicultural, teve acesso a vasta informação sobre esta prática em suas viagens à Índia, sendo responsável pela mais ampla documentação sobre a regra de três.

Ele afirma em sua pesquisa que a Índia foi o primeiro lugar onde o uso da regra de três se tornou comum. O escritor garante que foi realizado de forma fluida nas suas versões direta, inversa e até composta.

A data exata em que a regra de três se tornou parte do conhecimento matemático da Índia ainda é desconhecida. No entanto, o documento mais antigo que trata dessa prática, o manuscrito Bakhshali, foi descoberto em 1881. Ele está atualmente em Oxford.

Muitos historiadores da matemática afirmam que este manuscrito data do início da era atual.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Uma companhia aérea deve transportar 1.535 pessoas. Sabe-se que com 3 aviões demoraria 12 dias para levar o último passageiro ao destino. Mais 450 pessoas chegaram à companhia aérea e 2 aviões foram consertados para ajudar nessa tarefa. Quantos dias a companhia aérea levará para transferir o último passageiro ao seu destino?

A relação entre o número de pessoas e os dias de trabalho é direta, pois quanto maior o número de pessoas, mais dias demorará para realizar esse trabalho.

Por outro lado, a relação entre aviões e dias é inversamente proporcional. Conforme o número de aviões aumenta, os dias necessários para transportar todos os passageiros diminuem.

A tabela de valores referente a este caso é feita.

Conforme detalhado no exemplo inicial, o numerador e o denominador devem ser invertidos na fração correspondente à variável inversa em relação à incógnita. A operação é a seguinte:

X = 71460/7675 = 9,31 dias

Para transferir 1985 pessoas usando 5 aviões, leva mais de 9 dias.

Exercício 2

Uma safra de milho de 25 toneladas é levada para os caminhões de carga. Sabe-se que no ano anterior demorou 8 horas com uma folha de pagamento de 150 trabalhadores. Se para este ano a folha de pagamento aumentou 35%, quanto tempo vai demorar para encher os caminhões de carga com uma safra de 40 toneladas?

Antes de representar a tabela de valores, deve ser definido o número de trabalhadores para este ano. Isso aumentou 35% em relação ao número inicial de 150 trabalhadores. Uma regra direta de três é usada para isso.

100% ---- 150

35% ---– X

X = (35.100) / 100 = 52,5. É o número de trabalhadores adicionais em relação ao ano anterior, obtendo-se um total de 203 trabalhadores, após arredondamento do valor obtido.

Prosseguimos para definir a tabela de dados correspondente

Para este caso, o peso representa uma variável diretamente relacionada ao tempo desconhecido. Por outro lado, a variável trabalhadores tem relação inversa com o tempo. Quanto maior o número de trabalhadores, menor é a jornada de trabalho.

Levando em conta essas considerações e invertendo a fração correspondente à variável workers, procedemos ao cálculo.

X = 40600/6000 = 6,76 horas

A viagem levará pouco menos de 7 horas.

Exercícios propostos

- Defina 73% de 2875.

- Calcule o número de horas que Teresa dorme, caso se saiba que ela dorme apenas 7% do total do dia. Defina quantas horas você dorme por semana.

- Um jornal publica 2.000 exemplares a cada 5 horas, utilizando apenas 2 máquinas de impressão. Quantas cópias ele vai produzir em 1 hora, se usar 7 máquinas? Quanto tempo vai demorar para produzir 10.000 cópias usando 4 máquinas?

Referências

1. Enciclopédia Alvarez-iniciação. A. Álvarez, Antonio Álvarez Pérez. EDAF, 2001.
2. Manual completo de instrução elementar e primária superior: para uso de aspirantes a professores e especialmente alunos das Escolas Normais da Província, Volume 1. Joaquín Avendaño. Impressão de D. Dionisio Hidalgo, 1844.
3. Aproximação Racional de Funções Reais. PP Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3 de março. 2011
4. Aritmética elementar para ensino em escolas e faculdades na América Central. Darío González. Dica. Arenales, 1926.
5. O Estudo da Matemática: Sobre o estudo e as dificuldades da matemática. Augustus De Morgan. Baldwin e Cradock, 1830.