O gravicentro é uma definição muito utilizada em geometria quando se trabalha com triângulos.
Para entender a definição de gravidade, primeiro é necessário conhecer a definição de "medianas" de um triângulo.
As medianas de um triângulo são os segmentos de linha que começam em cada vértice e alcançam o ponto médio do lado oposto a esse vértice.
O ponto de intersecção das três medianas de um triângulo é denominado baricentro ou também conhecido como gravicentro.
Não basta apenas saber a definição, é interessante saber como esse ponto é calculado.
Cálculo do centro de gravidade
Dado um triângulo ABC com vértices A = (x1, y1), B = (x2, y2) e C = (x3, y3), temos que o gravicentro é a intersecção das três medianas do triângulo.
Uma fórmula rápida que permite o cálculo do centro de gravidade de um triângulo, sendo conhecidas as coordenadas de seus vértices, é:
G = ((x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3).
Com esta fórmula, você pode descobrir a localização do centro gravídico no plano cartesiano.
Características do Gravicentro
Não é necessário desenhar as três medianas do triângulo, pois ao desenhar duas delas, ficará evidente onde está o gravicentro.
O gravicentro divide cada mediana em 2 partes cuja proporção é 2: 1, ou seja, os dois segmentos de cada mediana são divididos em segmentos de comprimentos 2/3 e 1/3 do comprimento total, sendo a maior distância a que existe entre o vértice e o centro de gravidade.
A imagem a seguir ilustra melhor essa propriedade.
A fórmula para calcular a gravidade é muito simples de aplicar. A maneira de obter essa fórmula é calcular as equações das linhas que definem cada mediana e, em seguida, encontrar o ponto de interseção dessas linhas.
Exercícios
Aqui está uma pequena lista de problemas para calcular o centro de gravidade.
1.- Dado um triângulo com vértices A = (0,0), B = (1,0) e C = (1,1), calcule o centro de gravidade do referido triângulo.
Usando a fórmula fornecida, pode-se concluir rapidamente que o centro de gravidade do triângulo ABC é:
G = ((0 + 1 + 1) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (2/3, 1/3).
2.- Se um triângulo possui vértices A = (0,0), B = (1,0) e C = (1 / 2,1), quais são as coordenadas do gravicentro?
Como os vértices do triângulo são conhecidos, passamos a aplicar a fórmula para o cálculo do centro de gravidade. Portanto, o gravicentro possui coordenadas:
G = ((0 + 1 + 1/2) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (1/2, 1/3).
3.- Calcule os gravicentros possíveis para um triângulo equilátero tais que dois de seus vértices sejam A = (0,0) e B = (2,0).
Neste exercício, você está especificando apenas dois vértices do triângulo. Para encontrar os possíveis gravicentros, devemos primeiro calcular o terceiro vértice do triângulo.
Como o triângulo é equilátero e a distância entre A e B é 2, o terceiro vértice C deve estar a uma distância 2 de A e B.
Usando o fato de que em um triângulo equilátero a altura coincide com a mediana e também usando o teorema de Pitágoras, pode-se concluir que as opções para as coordenadas do terceiro vértice são C1 = (1, √3) ou C2 = (1, - √3).
Portanto, as coordenadas das duas possíveis gravicentrais são:
G1 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0 + √3) / 3) = (3/3, √3 / 3) = (1, √3 / 3), G2 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0-√3) / 3) = (3/3, -√3 / 3) = (1, -√3 / 3).
Graças aos relatos anteriores, nota-se também que a mediana foi dividida em duas partes cuja proporção é de 2: 1.
Referências
- Landaverde, F. d. (1997). Geometria (ed. Reimpressão). Progresso.
- Leake, D. (2006). Triângulos (edição ilustrada). Heinemann-Raintree.
- Pérez, CD (2006). Pré-cálculo. Pearson Education.
- Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrias. Tecnologia CR.
- Sullivan, M. (1997). Pré-cálculo. Pearson Education.
- Sullivan, M. (1997). Trigonometria e Geometria Analítica. Pearson Education.