A propriedade modulativa é a que permite realizar operações com os números sem alterar o resultado de igualdade. Isso é particularmente útil posteriormente na álgebra, uma vez que a multiplicação ou adição de fatores que não alteram o resultado permite a simplificação de algumas equações.
Para adição e subtração, adicionar zero não altera o resultado. No caso de multiplicação e divisão, multiplicar ou dividir por um também não altera o resultado. Por exemplo, adicionar 5 a 0 ainda é 5. Multiplicar 1000 por 1 ainda é 1000.
Os fatores zero para adição e um para multiplicação são modulares para essas operações. As operações aritméticas possuem diversas propriedades além da modulativa, que contribuem para a solução de problemas matemáticos.
Operações Aritméticas e a Propriedade Modulativa
As operações aritméticas são adição, subtração, multiplicação e divisão. Vamos trabalhar com o conjunto de números naturais.
Soma
A propriedade chamada elemento neutro nos permite adicionar um adendo sem alterar o resultado. Isso nos diz que zero é o elemento neutro da soma.
Como tal, é dito ser o módulo de adição e, portanto, o nome da propriedade modulativa.
Por exemplo:
(3 + 5) + 9 + 4 + 0 = 21
4 + 5 + 9 + 3 + 0 = 21
2 + 3 + 0 = 5
1000 + 8 + 0 = 1008
500 + 0 = 500
233 + 1 + 0 = 234
25.000 + 0 = 25.000
1623 + 2 + 0 = 1625
400 + 0 = 400
869 + 3 + 1 + 0 = 873
78 + 0 = 78
542 + 0 = 542
36750 + 0 = 36750
789 + 0 = 789
560 + 3 + 0 = 563
1500000 + 0 = 1500000
7500 + 0 = 7500
658 + 0 = 658
345 + 0 = 345
13562000 + 0 = 13562000
500000 + 0 = 500000
322 + 0 = 322
14600 + 0 = 14600
900.000 + 0 = 900.000
A propriedade modulativa também é verdadeira para números inteiros:
(-3) +4+ (-5) = (-3) +4+ (-5) +0
(-33) + (- 1) = (-33) + (- 1) +0
-1 + 35 = -1 + 35 + 0
260000 + (- 12) = 260000 + (- 12) +0
(-500) +32 + (- 1) = (-500) +32 + (- 1) +0
1750000 + (- 250) = 1750000 + (- 250) +0
350000 + (- 580) + (- 2) = 350000 + (- 580) + (- 2) +0
(-78) + (- 56809) = (-78) + (- 56809) +0
8 + 5 + (- 58) = 8 + 5 + (- 58) +0
689 + 854 + (- 78900) = 689 + 854 + (- 78900) +0
1 + 2 + (- 6) + 7 = 1 + 2 + (- 6) + 7 + 0
E, da mesma forma, para números racionais:
2/5 + 3/4 = 2/5 + 3/4 + 0
5/8 + 4/7 = 5/8 + 4/7 + 0
½ + 1/4 + 2/5 = ½ + 1/4 + 2/5 + 0
1/3 + 1/2 = 1/3 + 1/2 + 0
7/8 + 1 = 7/8 + 1 + 0
3/8 + 5/8 = 3/8 + 5/8 + 0
7/9 + 2/5 + 1/2 = 7/9 + 2/5 + 1/2 + 0
3/7 + 12/133 = 3/7 + 12/133 + 0
6/8 + 2 + 3 = 6/8 + 2 + 3 + 0
233/135 + 85/9 = 233/135 + 85/9 + 0
9/8 + 1/3 + 7/2 = 9/8 + 1/3 + 9/8 + 0
1236/122 + 45/89 = 1236/122 + 45/89 + 0
24362/745 + 12000 = 24635/745 + 12000 + 0
Também para o irracional:
e + √2 = e + √2 + 0
√78 + 1 = √78 + 1 + 0
√9 + √7 + √3 = √9 + √7 + √3 + 0
√7120 + e = √7120 + e + 0
√6 + √200 = √6 + √200 + 0
√56 + 1/4 = √56 + 1/4 + 0
√8 + √35 + √7 = √8 + √35 + √7 + 0
√742 + √3 + 800 = √742 + √3 + 800 + 0
V18 / 4 + √7 / 6 = √18 / 4 + √7 / 6 + 0
√3200 + √3 + √8 + √35 = √3200 + √3 + √8 + √35 + 0
√12 + e + √5 = √12 + e + √5 + 0
√30 / 12 + e / 2 = √30 / 12 + e / 2
√2500 + √365000 = √2500 + √365000 + 0
√170 + √13 + e + √79 = √170 + √13 + e + √79 + 0
E da mesma forma para todos os reais.
2,15 + 3 = 2,15 + 3 + 0
144,12 + 19 + √3 = 144,12 + 19 + √3 + 0
788500 + 13,52 + 18,70 + 1/4 = 788500 + 13,52 + 18,70 + 1/4 + 0
3,14 + 200 + 1 = 3,14 + 200 + 1 + 0
2,4 + 1,2 + 300 = 2,4 + 1,2 + 300 + 0
√35 + 1/4 = √35 + 1/4 + 0
e + 1 = e + 1 + 0
7,32 + 12 + 1/2 = 7,32 + 12 + 1/2 + 0
200 + 500 + 25,12 = 200 + 500 + 25,12 + 0
1000000 + 540,32 + 1/3 = 1000000 + 540,32 + 1/3 +0
400 + 325,48 + 1,5 = 400 + 325 + 1,5 + 0
1200 + 3,5 = 1200 + 3,5 + 0
Subtração
Aplicando a propriedade modulativa, pois além disso, zero não altera o resultado da subtração:
4-3 = 4-3-0
8-0-5 = 8-5-0
800-1 = 800-1-0
1500-250-9 = 1500-250-9-0
É satisfeito para os inteiros:
-4-7 = -4-7-0
78-1 = 78-1-0
4500000-650000 = 4500000-650000-0
-45-60-6 = -45-60-6-0
-760-500 = -760-500-0
4750-877 = 4750-877-0
-356-200-4 = 356-200-4-0
45-40 = 45-40-0
58-879 = 58-879-0
360-60 = 360-60-0
1250000-1 = 1250000-1-0
3-2-98 = 3-2-98-0
10000-1000 = 10000-1000-0
745-232 = 745-232-0
3800-850-47 = 3800-850-47-0
Para os racionais:
3 / 4-2 / 4 = 3 / 4-2 / 4-0
120 / 89-1 / 2 = 120 / 89-1 / 2-0
1 / 32-1 / 7-1 / 2 = 1 / 32-1 / 7-1 / 2-0
20 / 87-5 / 8 = 20 / 87-5 / 8-0
132 / 36-1 / 4-1 / 8 = 132 / 36-1 / 4-1 / 8
2 / 3-5 / 8 = 2 / 3-5 / 8-0
1 / 56-1 / 7-1 / 3 = 1 / 56-1 / 7-1 / 3-0
25 / 8-45 / 89 = 25 / 8-45 / 89 -0
3 / 4-5 / 8-6 / 74 = 3 / 4-5 / 8-6 / 74-0
5 / 8-1 / 8-2 / 3 = 5 / 8-1 / 8-2 / 3-0
1 / 120-1 / 200 = 1 / 120-1 / 200-0
1 / 5000-9 / 600-1 / 2 = 1 / 5000-9 / 600-1 / 2-0
3 / 7-3 / 4 = 3 / 7-3 / 4-0
Também para o irracional:
Π-1 = Π-1-0
e-√2 = e-√2-0
√3-1 = √-1-0
√250-√9-√3 = √250-√9-√3-0
√85-√32 = √85-√32-0
√5-√92-√2500 = √5-√92-√2500
√180-12 = √180-12-0
√2-√3-√5-√120 = √2-√3-√5-120
15-√7-√32 = 15-√7-√32-0
V2 / √5-√2-1 = √2 / √5-√2-1-0
√18-3-√8-√52 = √18-3-√8-√52-0
√7-√12-√5 = √7-√12-√5-0
√5-e / 2 = √5-e / 2-0
√15-1 = √15-1-0
√2-√14-e = √2-√14-e-0
E, em geral, para os reais:
π –e = π-e-0
-12-1,5 = -12-1,5-0
100000-1 / 3-14,50 = 100000-1 / 3-14,50-0
300-25-1,3 = 300-25-1,3-0
4,5-2 = 4,5-2-0
-145-20 = -145-20-0
3,16-10-12 = 3,16-10-12-0
π-3 = π-3-0
π / 2- π / 4 = π / 2- π / 4-0
325,19-80 = 329,19-80-0
-54.32-10-78 = -54.32-10-78-0
-10000-120 = -10000-120-0
-58,4-6,52-1 = -58,4-6,52-1-0
-312,14-√2 = -312,14-√2-0
Multiplicação
Esta operação matemática também tem seu elemento neutro ou propriedade modulativa:
3x7x1 = 3 × 7
(5 × 4) x3 = (5 × 4) x3x1
Que é o número 1, pois não altera o resultado da multiplicação.
Isso também é verdadeiro para inteiros:
2 × 3 = -2x3x1
14000 × 2 = 14000x2x1
256x12x33 = 256x14x33x1
1450x4x65 = 1450x4x65x1
12 × 3 = 12x3x1
500 × 2 = 500x2x1
652x65x32 = 652x65x32x1
100x2x32 = 100x2x32x1
10000 × 2 = 10000x2x1
4x5x3200 = 4x5x3200x1
50000x3x14 = 50000x3x14x1
25 × 2 = 25x2x1
250 × 36 = 250x36x1
1500000 × 2 = 1500000x2x1
478 × 5 = 478x5x1
Para os racionais:
(2/3) x1 = 2/3
(1/4) x (2/3) = (1/4) x (2/3) x1
(3/8) x (5/8) = (3/8) x (5/8) x1
(12/89) x (1/2) = (12/89) x (1/2) x1
(3/8) x (7/8) x (6/7) = (3/8) x (7/8) x (6/7) x 1
(1/2) x (5/8) = (1/2) x (5/8) x 1
1 x (15/8) = 15/8
(4/96) x (1/5) x (1/7) = (4/96) x (1/5) x (1/7) x1
(1/8) x (1/79) = (1/8) x (1/79) x 1
(200/560) x (2/3) = (200/560) x 1
(9/8) x (5/6) = (9/8) x (5/6) x 1
Para o irracional:
ex 1 = e
√2 x √6 = √2 x √6 x1
√500 x 1 = √500
√12 x √32 x √3 = V√12 x √32 x √3 x 1
√8 x 1/2 = √8 x 1/2 x1
√320 x √5 x √9 x √23 = √320 x √5 √9 x √23 x1
√2 x 5/8 = √2 x5 / 8 x1
√32 x √5 / 2 = √32 + √5 / 2 x1
ex √2 = ex √2 x 1
(π / 2) x (3/4) = (π / 2) x (34) x 1
π x √3 = π x √3 x 1
E finalmente para os reais:
2.718 × 1 = 2.718
-325 x (-2) = -325 x (-2) x1
10.000 x (25,21) = 10.000 x (25,21) x 1
-2012 x (-45,52) = -2012 x (-45,52) x 1
-13,50 x (-π / 2) = 13,50 x (-π / 2) x 1
-π x √250 = -π x √250 x 1
-√250 x (1/3) x (190) = -√250 x (1/3) x (190) x 1
- (√3 / 2) x (√7) = - (√3 / 2) x (√7) x 1
-12,50 x (400,53) = 12,50 x (400,53) x 1
1 x (-5638,12) = -5638,12
210,69 x 15,10 = 210,69 x 15,10 x 1
Divisão
O elemento neutro da divisão é, como na multiplicação, o número 1. Uma determinada quantidade dividida por 1 dará o mesmo resultado:
34 ÷ 1 = 34
7 ÷ 1 = 7
200.000 ÷ 1 = 200.000
ou o que é o mesmo:
200000/1 = 200000
Isso é verdade para cada número inteiro:
8/1 = 8
250/1 = 250
1000000/1 = 1000000
36/1 = 36
50000/1 = 50000
1/1 = 1
360/1 = 360
24/1 = 24
2500000/1 = 250000
365/1 = 365
E também para cada racional:
(3/4) ÷ 1 = 3/4
(3/8) ÷ 1 = 3/8
(1/2) ÷ 1 = 1/2
(47/12) ÷ 1 = 47/12
(5/4) ÷ 1 = 5/4
(700/12) ÷ 1 = 700/12
(1/4) ÷ 1 = 1/4
(7/8) ÷ 1 = 7/8
Para cada número irracional:
π / 1 = π
(π / 2) / 1 = π / 2
(√3 / 2) / 1 = √3 / 2
√120 / 1 = √120
√8500 / 1 = √8500
√12 / 1 = √12
(π / 4) / 1 = π / 4
E, em geral, para todos os números reais:
3,14159 / 1 = 3,14159
-18/1 = -18
16,32 ÷ 1 = 16,32
-185000,23 ÷ 1 = -185000,23
-10000,40 ÷ 1 = -10000,40
156,30 ÷ 1 = 156,30
900000, 10 ÷ 1 = 900000,10
1.325 ÷ 1 = 1.325
A propriedade modulativa é essencial nas operações algébricas, pois o artifício de multiplicar ou dividir por um elemento algébrico cujo valor é 1 não altera a equação.
No entanto, você pode simplificar as operações com as variáveis para obter uma expressão mais simples e conseguir resolver as equações de uma forma mais fácil.
Em geral, todas as propriedades matemáticas são necessárias para o estudo e desenvolvimento de hipóteses e teorias científicas.
Nosso mundo está cheio de fenômenos que são constantemente observados e estudados por cientistas. Esses fenômenos são expressos com modelos matemáticos para facilitar sua análise e posterior compreensão.
Dessa forma, podem ser previstos comportamentos futuros, entre outros aspectos, o que traz grandes benefícios que melhoram o modo de vida das pessoas.
Referências
- Definição de números naturais. Recuperado de: definicion.de.
- Divisão de números inteiros. Recuperado de: vitutor.com.
- Exemplo de propriedade modulativa. Recuperado de: examplede.com.
- Os números naturais. Recuperado de: gcfaprendelibre.org.
- Matemática 6. Recuperado de: colombiaaprende.edu.co.
- Propriedades matemáticas. Recuperado de: wikis.engrade.com.
- Propriedades da multiplicação: associativa, comutativa e distributiva. Recuperado de: portaleducativo.net.
- Propriedades da soma. Recuperado de: gcfacprendelibre.org.