- Propriedades dos números capicúa
- Sucessões capicúa
- Tâmaras capicua
- Desafios Capicúa
- Adivinhe o número do bilhete
- Adivinha o número que eu sou
- Quantas capicuas existem entre 100 e 200?
- Números de Lychrel
- Referências
Um número capicúa é aquele que se lê da esquerda para a direita e da direita para a esquerda. A Real Academia Espanhola reserva-se a palavra palíndromo quando se trata de uma frase, sentença ou palavra que se lê igual em ambos os sentidos.
Exemplos de números capicúa são: 2002, 11, 121, 34543. E como exemplos de palavras palindrômicas estão: olho, ana, sozinho. Aí você vê Sevilha, é uma frase palíndrômica.
Figura 1. Alguns números de capicúa. Fonte: F. Zapata.
A palavra capicúa tem origem no catalão: cap i cua que significa cabeça e cauda, e se aplica exclusivamente a algarismos numéricos que são lidos da mesma maneira em ambos os sentidos.
Essas figuras também são chamadas de números de palíndromo, embora "palíndromo" seja usado principalmente em referência a palavras ou frases que são lidas da mesma forma para frente e para trás.
Na língua inglesa não existe a palavra capicúa, por isso esses tipos de números são chamados de "números palíndromos".
Propriedades dos números capicúa
1.- Qualquer número de um algarismo é considerado um capicúa: 0 é um capicúa, 5 é um capicúa, e assim sucessivamente.
2.- Os números capicúa formam uma sucessão de algarismos, de forma que o primeiro e o último sejam iguais, o segundo e o penúltimo sejam iguais e assim sucessivamente.
Em 1234321, o primeiro é igual ao último, o segundo é igual ao penúltimo, o terceiro é igual ao penúltimo e o meio é igual a si mesmo.
3.- Se o número de dígitos em um número capicúa é ímpar, então o dígito central é o centro da simetria, de forma que os dígitos que estão à mesma distância do dígito central são iguais.
Considere 73137, neste número 1 é o dígito central e o centro de simetria, 3 está a uma distância do dígito central e 7 está a duas distâncias do dígito central em ambas as direções.
4.- Se o número de dígitos for par, o centro de simetria é o espaço que divide o mesmo número de dígitos à direita e à esquerda.
Os dígitos que estão à mesma distância (ou passos) deste centro são necessariamente iguais.
Por exemplo: 731137, neste número o centro de simetria está no espaço entre os dois números 1. Os outros dígitos estão localizados simetricamente em cada lado deste centro.
5.- Um número capicúa com um número par de dígitos é divisível por 11:
6666 ÷ 11 = 606
3223 ÷ 11 = 293
6.- Pode-se obter um número capicúa somando qualquer número com seus inversos sucessivos vezes até obter-se uma capicúa:
45 + 54 = 99
75 + 57 = 132 → 132 + 231 = 363
913 + 319 = 1232 → 1232 + 2321 = 3553
7.- Entre 10 e 99 existem 9 números capicúa. Entre 100 e 999 são 93 capicuas, entre os quais 666, conhecido como o número da besta, associado ao demônio.
Sucessões capicúa
8.- Uma sequência com um número finito de termos é cápica se os termos equidistantes forem iguais: {a 0, a 1,…, a i,…, a n-1, a n } é capicua se a i = a n -1.
9.- Quando a soma dos n elementos de uma progressão geométrica, que começa em 1 e tem a razão r, é elevada a um expoente natural, os coeficientes de seu desenvolvimento geram uma seqüência capicúa.
Por exemplo, considere a progressão geométrica da razão r e quatro elementos elevados ao expoente 3:
(1 + r¹ + r² + r³ + r⁴) ³
O desenvolvimento desta expressão é
r¹² + 3r¹¹ + 6r¹⁰ + 10r⁹ + 15r⁸ + 18r⁷ + 19 r⁶ + 18r⁵ + 15r⁴ + 10r³ + 6r² + 3r + 1
Se a sequência dos coeficientes é formada de forma ordenada, temos
{1, 3, 6, 10, 15, 18, 19, 18, 15, 10, 6, 3, 1}
O que é uma sucessão capicúa.
Tâmaras capicua
No domingo, 2 de fevereiro de 2020, foi batizado de “dia do palíndromo”, durante aquela semana a hashtag #PalindromeDay foi uma tendência nas redes.
A razão é que esta data é capicúa no formato dia / mês / ano, no formato mês / dia / ano, ou no formato ano / mês / dia:
02/02/2020
02/02 2020
A data anterior a esta, em que coincidia a data capicúa independente do formato, ocorria 908 anos dois meses e 22 dias antes, e era 11 de novembro de 1111, ou seja, 11/11/1111.
A próxima data capicúa independente do formato de 101 anos, 10 meses e 10 dias após o dia designado: 12/12/2121
No formato dia / mês / ano, a capicúa anterior a #PalindromeDay era há 10 anos e um dia: 01/02/2010, enquanto o próximo será 1 ano e 10 dias depois: 12/02/2021.
Para os que acreditam na superstição, as datas de capicua geralmente representam desgraça ou boa sorte. Na Grécia Antiga, acreditava-se que essas datas poderiam ser apocalípticas.
Da mesma forma, bilhetes de loteria com números de capicúa são considerados boa sorte e os torcedores os colecionam.
Figura 2. Os ingressos da Capicúa são considerados boa sorte e são colecionáveis. Fonte: Wikimedia Commons.
Desafios Capicúa
Adivinhe o número do bilhete
O bilhete da sorte tem uma figura capicúa. A soma de seus cinco dígitos dá o mesmo resultado como se eles fossem multiplicados. O primeiro dígito é a idade da minha irmã mais nova, os próximos dois a idade da irmã do meio e os dois últimos são a idade da irmã mais velha, que leva mais de um ano para a do meio.
Adivinha o número que eu sou
Tenho quatro algarismos, sou um capicúa, alguns me veem como se fosse um 9 e entre 2 e 10 só tenho um divisor.
a.- 1111, b.- 1001, c.- 2002, d.- 1221, e.- 2112
Quantas capicuas existem entre 100 e 200?
a.- 5, b.- 7, c.- 10, d.- 52, e.- 89
Números de Lychrel
Anteriormente se dizia que um número de capicúa pode ser obtido somando qualquer número com seu reverso sucessivas vezes até se obter uma capicúa.
Parece que esta regra tem suas exceções para certos números chamados números de Lychrel, dos quais a existência de alguns não foi comprovada, talvez porque um número muito grande de testes deva ser feito antes de se obter uma capicúa. Um candidato ao número de Lychrel é 196.
Como desafio, te damos o número 89 que depois de invertê-lo e somar, somar novamente com o resultado invertido e repetir este processo 24 vezes, você obtém uma capicúa. Você sabe dizer qual é a capicúa?
a.- 1883200023881
b.- 8183200023818
c.- 8812300032188
d.- 8813200023188
e.- 88131100113188
Referências
- BBC World. 02-02-2020: porque é que esta data incomum é chamada de "dia do palíndromo" e qual é o seu nome correto. Recuperado de: bbc.com/mundo/noticias.
- López Lasala JL O canto da ciência. Hobbies Capicúa. Recuperado de: rincondelaciencia.educa.madrid.org
- Mathmax. Hobbies matemáticos. Recuperado de: easymathforallblog.wordpress.com/
- Matemática e Poesia. Jogos e entretenimento. Recuperado de: matemática e poesia.com.es
- Wikipedia. Capicúa. Recuperado de: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Número palíndromo. Recuperado de: en.wikipedia.com