O QUE SÃO LIMITES TRIGONOMÉTRICOS? (EXERCÍCIOS RESOLVIDOS) - MATEMÁTICAS - 2025

Os limites trigonométricos são limites de funções de tal forma que essas funções são formadas por funções trigonométricas.

Existem duas definições que devem ser conhecidas para entender como calcular um limite trigonométrico.

Essas definições são:

- Limite de uma função «f» quando «x» tende a «b»: consiste em calcular o valor ao qual f (x) se aproxima à medida que «x» se aproxima de «b», sem atingir «b» ».

- Funções trigonométricas: as funções trigonométricas são as funções seno, cosseno e tangente, denotadas por sin (x), cos (x) e tan (x), respectivamente.

As outras funções trigonométricas são obtidas a partir das três funções mencionadas acima.

Limites de função

Para esclarecer o conceito de limite de função, continuaremos mostrando alguns exemplos com funções simples.

- O limite de f (x) = 3 quando "x" tende a "8" é igual a "3", pois a função é sempre constante. Não importa quanto vale "x", o valor de f (x) sempre será "3".

- O limite de f (x) = x-2 quando «x» tende a «6» é «4». Desde quando "x" se aproxima de "6", então "x-2" se aproxima de "6-2 = 4".

- O limite de g (x) = x² quando "x" tende a "3" é igual a 9, pois quando "x" se aproxima de "3", então "x²" se aproxima de "3² = 9".

Como pode ser visto nos exemplos anteriores, o cálculo de um limite consiste em avaliar o valor para o qual tende "x" na função, e o resultado será o valor do limite, embora isso seja verdadeiro apenas para funções contínuas.

Existem limites mais complicados?

A resposta é sim. Os exemplos acima são os exemplos mais simples de limites. Nos livros de cálculo, os principais exercícios de limite são aqueles que geram uma indeterminação do tipo 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 e (∞) ^ 0.

Essas expressões são chamadas de indeterminâncias, pois são expressões que não fazem sentido matematicamente.

Além disso, dependendo das funções envolvidas no limite original, o resultado obtido na solução das indeterminações pode ser diferente em cada caso.

Exemplos de limites trigonométricos simples

Para resolver limites, é sempre muito útil conhecer os gráficos das funções envolvidas. Os gráficos das funções seno, cosseno e tangente são mostrados abaixo.

Alguns exemplos de limites trigonométricos simples são:

- Calcule o limite de sin (x) quando «x» tende a «0».

Ao olhar para o gráfico, pode-se ver que se "x" se aproxima de "0" (tanto da esquerda quanto da direita), então o gráfico seno também se aproxima de "0". Portanto, o limite de sin (x) quando "x" tende a "0" é "0".

- Calcule o limite de cos (x) quando «x» tende a «0».

Observando o gráfico do cosseno pode-se perceber que quando "x" está próximo de "0" o gráfico do cosseno está próximo de "1". Isso implica que o limite de cos (x) quando "x" tende a "0" é igual a "1".

Um limite pode existir (ser um número), como nos exemplos anteriores, mas também pode não existir como mostrado no exemplo a seguir.

- O limite de tan (x) quando «x» tende a «Π / 2» da esquerda é igual a «+ ∞», como pode ser visto no gráfico. Por outro lado, o limite de tan (x) quando "x" tende a "-Π / 2" da direita é igual a "-∞".

Identidades de limites trigonométricos

Duas identidades muito úteis ao calcular os limites trigonométricos são:

- O limite de «sin (x) / x» quando «x» tende a «0» é igual a «1».

- O limite de «(1-cos (x)) / x» quando «x» tende a «0» é igual a «0».

Essas identidades são usadas com frequência quando você tem algum tipo de indeterminação.

Exercícios resolvidos

Resolva os limites a seguir usando as identidades descritas acima.

- Calcule o limite de «f (x) = sin (3x) / x» quando «x» tende a «0».

Se a função "f" for avaliada como "0", uma indeterminação do tipo 0/0 será obtida. Portanto, devemos tentar resolver essa indeterminação usando as identidades descritas.

A única diferença entre este limite e a identidade é o número 3 que aparece dentro da função seno. Para aplicar a identidade, a função «f (x)» deve ser reescrita como segue «3 * (sin (3x) / 3x)». Agora, o argumento do seno e o denominador são iguais.

Portanto, quando "x" tende a "0", usar a identidade resulta em "3 * 1 = 3". Portanto, o limite de f (x) quando "x" tende a "0" é igual a "3".

- Calcule o limite de «g (x) = 1 / x - cos (x) / x» quando «x» tende a «0».

Quando "x = 0" é substituído em g (x), uma indeterminação do tipo ∞-∞ é obtida. Para resolvê-lo, as frações são primeiro subtraídas, o que resulta em "(1-cos (x)) / x".

Agora, aplicando a segunda identidade trigonométrica, temos que o limite de g (x) quando «x» tende a «0» é igual a 0.

- Calcule o limite de «h (x) = 4tan (5x) / 5x» quando «x» tende a «0».

Novamente, se h (x) for avaliado em "0", uma indeterminação do tipo 0/0 será obtida.

Reescrever como (5x) como sin (5x) / cos (5x) resulta em h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Usando que o limite de 4 / cos (x) quando "x" tende a "0" é igual a "4/1 = 4" e a primeira identidade trigonométrica é obtida que o limite de h (x) quando "x" tende um "0" é igual a "1 * 4 = 4".

Observação

Os limites trigonométricos nem sempre são fáceis de resolver. Apenas exemplos básicos foram mostrados neste artigo.

Referências

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2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Matemática pré-cálculo: uma abordagem de resolução de problemas (2, edição ilustrada). Michigan: Prentice Hall.
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