REDES BRAVAIS: CONCEITO, CARACTERÍSTICAS, EXEMPLOS, EXERCÍCIOS - FISICA - 2025

As redes Bravais são todas as células unitárias de quatorze dimensões que podem ser colocadas nos átomos de um cristal. Essas células consistem em um arranjo tridimensional de pontos que formam uma estrutura básica que se repete periodicamente nas três direções espaciais.

A origem desse nome para estruturas cristalinas básicas remonta a 1850, quando Auguste Bravais demonstrou que existem apenas 14 células unitárias básicas tridimensionais possíveis.

Figura 1. As redes Bravais são o conjunto de 14 células unitárias necessárias e suficientes para descrever qualquer estrutura cristalina. (wikimedia commons)

O conjunto das 14 redes Bravais subdivide-se em sete grupos ou estruturas de acordo com a geometria das células, sendo estes sete grupos:

1- cúbico

2- Tetragonal

3- ortorrômbico

4- Trigonal-Hexagonal

5- Monoclínico

6- Triclínico

7- Trigonal

Cada uma dessas estruturas define uma célula unitária, sendo esta a menor porção que preserva o arranjo geométrico dos átomos no cristal.

Características das redes Bravais

As quatorze redes Bravais, conforme já referido, estão subdivididas em sete grupos. Mas cada um desses grupos tem suas células unitárias com seus parâmetros característicos que são:

1- O parâmetro de rede (a, b, c)

2- Número de átomos por célula

3- Relação entre parâmetro de rede e raio atômico

4- Número de coordenação

5- Fator de embalagem

6- espaços intersticiais

7- Por translações ao longo dos vetores a, b, c a estrutura cristalina é repetida.

Redes cúbicas

Consiste na estrutura simples ou cúbica P, na estrutura centrada na face ou no cubo F e na estrutura centrada no corpo ou estrutura cúbica I.

Todas as redes cúbicas têm os três parâmetros de rede correspondentes às direções x, y, z do mesmo valor:

a = b = c

Rede cúbica P

É conveniente notar que os átomos são representados por esferas cujos centros estão nos vértices da célula unitária cúbica P.

No caso da rede cúbica P, o número de átomos por célula é 1, porque em cada vértice apenas um oitavo do átomo está dentro da célula unitária, então 8 * ⅛ = 1.

O número de coordenação indica o número de átomos que são vizinhos próximos na rede cristalina. No caso da rede cúbica P, o número de coordenação é 6.

Rede cúbica I

Nesse tipo de rede, além dos átomos nos vértices do cubo, existe um átomo no centro do cubo. Portanto, o número de átomos por célula unitária na rede cúbica P é de 2 átomos.

Figura 2. Estrutura cúbica centrada no corpo.

Rede cúbica F

É a rede cúbica que além dos átomos nos vértices possui um átomo no centro da face de cada cubo. O número de átomos por célula é 4, já que cada um dos seis átomos da face tem metade dentro da célula, ou seja, 6 * ½ = 3 mais 8 * ⅛ = 1 nos vértices.

Figura 3. Rede cúbica centrada na face.

Rede hexagonal

Neste caso, a célula unitária é um prisma reto com base hexagonal. Redes hexagonais têm os três parâmetros de rede correspondentes atendendo à seguinte relação:

a = b ≠ c

O ângulo entre os vetores aeb é de 120º, conforme mostrado na figura. Enquanto entre os vetores a e c, assim como entre b e c, ângulos retos são formados.

Figura 4. Rede hexagonal.

O número de átomos por célula será calculado da seguinte forma:

- Em cada uma das 2 bases do prisma hexagonal existem 6 átomos nos seis vértices. Cada um desses átomos ocupa ⅙ da célula unitária.

- No centro de cada uma das 2 bases hexagonais há 1 átomo que ocupa 1/2 célula unitária.

- Nas 6 faces laterais do prisma hexagonal existem 3 átomos, cada um ocupando ⅔ da célula unitária, e 3 átomos, cada um ocupando ⅓ do volume da célula unitária.

(6 x ⅙) x 2 + ½ x 2 + ⅔ x 3 + ⅓ x 3 = 6

A relação entre os parâmetros de rede a e b com o raio atômico R sob a suposição de que todos os átomos têm raios iguais e estão em contato é:

a / R = b / R = 2

Exemplos

Os metais são os principais exemplos de estruturas cristalinas e também os mais simples porque geralmente consistem em apenas um tipo de átomo. Mas existem outros compostos não metálicos que também formam estruturas cristalinas, como diamante, quartzo e muitos outros.

- O ferro

O ferro tem uma célula unitária cúbica simples com parâmetro de rede ou borda a = 0,297 nm. Em 1 mm, existem 3,48 x 10 ^ 6 células unitárias.

- O cobre

Ele tem uma estrutura cristalina cúbica centrada na face, composta apenas de átomos de cobre.

- Gemas preciosas

As pedras preciosas são estruturas cristalinas basicamente do mesmo composto, mas com pequenas porções de impurezas que muitas vezes são responsáveis ​​por sua cor.

Diamante

É composto apenas por carbono e não contém impurezas, por isso é incolor. O diamante tem uma estrutura cristalina cúbica (isométrica-hexoctaédrica) e é o material mais duro conhecido.

Quartzo

É composto por óxido de sílica, geralmente incolor ou branco. Sua estrutura cristalina é trapezoidal trigonal.

Rubi

Gema geralmente de cor verde, tem uma estrutura monoclínica e é composta de silicato de ferro-magnésio-cálcio.

Topázio

Exercício 1

Encontre a relação entre o parâmetro de rede e o raio atômico para uma rede cúbica F.

Solução: Em primeiro lugar, assume-se que os átomos são representados como esferas de raio R em "contato" entre si, como mostrado na figura. Um triângulo retângulo é formado no qual é verdade que:

(4 R) ^ 2 = a ^ 2 + a ^ 2 = 2 a ^ 2

Portanto, a relação borda-raio é:

a / R = 4 / √2

Exercício 2

Encontre a relação entre o parâmetro de rede e o raio atômico para uma rede cúbica I (centrada no corpo).

Solução: Presume-se que os átomos sejam representados como esferas de raio R em "contato" entre si, conforme mostrado na figura.

Dois triângulos retângulos são formados, um da hipotenusa √2a e o outro da hipotenusa √3a, como pode ser provado usando o teorema de Pitágoras. A partir daí, temos que a relação entre o parâmetro de rede e o raio atômico para uma rede cúbica I (centrada no corpo) é:

a / R = 4 / √3

Exercício 3

Encontre o fator de empacotamento F para uma célula unitária de estrutura cúbica F (centrada na face cúbica) na qual os átomos têm raio R e estão em "contato".

Solução: O fator de empacotamento F é definido como o quociente entre o volume ocupado pelos átomos na célula unitária e o volume da célula:

F = átomos de V / célula V

Como demonstrado acima, o número de átomos por célula unitária em uma rede cúbica centrada na face é 4, então o fator de empacotamento será:

F = 4 / =…

… 4 / ^ 3 = (√2) π / 6 = 0,74

Referências

1. Centro de Recursos Acadêmicos da Crystal Structures.. Obtido em 24 de maio de 2018, em: web.iit.edu
2. Cristais. Obtido em 26 de maio de 2018, em: Thoughtco.com
3. Pressbooks. 10.6 Estruturas reticuladas em sólidos cristalinos. Obtido em 26 de maio de 2018, em: opentextbc.ca
4. Ming. (2015, 30 de junho). Tipos Estruturas de Cristal. Obtido em 26 de maio de 2018, em: crystalvisions-film.com
5. Helmenstine, Anne Marie, Ph.D. (31 de janeiro de 2018). Tipos de
6. Kittel Charles (2013) Solid State Physics, Condensed matter Physics (8ª edição). Wiley.
7. KHI. (2007). Estruturas cristalinas. Obtido em 26 de maio de 2018, em: folk.ntnu.no
8. Wikipedia. Treliças Bravais. Recuperado de: en.wikipedia.com.