- Qual é a soma dos quadrados de dois números consecutivos?
- Qual é a soma dos quadrados?
- Exemplos
- Referências
Para saber qual é a soma dos quadrados de dois números consecutivos, pode-se encontrar uma fórmula, com a qual basta substituir os números envolvidos para obter o resultado.
Esta fórmula pode ser encontrada de forma geral, ou seja, pode ser utilizada para qualquer par de números consecutivos.
Ao dizer "números consecutivos", você está implicitamente dizendo que ambos os números são inteiros. E por "os quadrados" ele está se referindo a elevar cada número ao quadrado.
Por exemplo, se os números 1 e 2 são considerados, seus quadrados são 1² = 1 e 2² = 4, portanto, a soma dos quadrados é 1 + 4 = 5.
Por outro lado, se os números 5 e 6 forem tomados, seus quadrados são 5² = 25 e 6² = 36, com os quais a soma dos quadrados é 25 + 36 = 61.
Qual é a soma dos quadrados de dois números consecutivos?
O objetivo agora é generalizar o que foi feito nos exemplos anteriores. Para fazer isso, é necessário encontrar uma maneira geral de escrever um inteiro e seu inteiro consecutivo.
Se você olhar para dois inteiros consecutivos, por exemplo 1 e 2, verá que 2 pode ser escrito como 1 + 1. Além disso, se os números 23 e 24 forem observados, conclui-se que 24 pode ser escrito como 23 + 1.
Para inteiros negativos, este comportamento também pode ser verificado. De fato, se -35 e -36 são considerados, pode-se ver que -35 = -36 + 1.
Portanto, se qualquer inteiro "n" for escolhido, o inteiro consecutivo a "n" será "n + 1". Assim, uma relação entre dois inteiros consecutivos já foi estabelecida.
Qual é a soma dos quadrados?
Dados dois inteiros consecutivos "n" e "n + 1", então seus quadrados são "n²" e "(n + 1) ²". Usando as propriedades de produtos notáveis, este último termo pode ser escrito da seguinte forma:
(n + 1) ² = n² + 2 * n * 1 + 1² = n² + 2n + 1.
Finalmente, a soma dos quadrados dos dois números consecutivos é dada pela expressão:
n² + n² + 2n + 1 = 2n² + 2n +1 = 2n (n + 1) +1.
Se a fórmula anterior for detalhada, verifica-se que basta conhecer o menor inteiro "n" para saber qual é a soma dos quadrados, ou seja, basta utilizar o menor dos dois inteiros.
Outra perspectiva da fórmula obtida é: os números escolhidos são multiplicados, depois o resultado obtido é multiplicado por 2 e, por fim, somado 1.
Por outro lado, o primeiro adendo à direita é um número par, e adicionar 1 resultará em ímpar. Isso diz que o resultado da adição dos quadrados de dois números consecutivos sempre será um número ímpar.
Também pode ser notado que como dois números ao quadrado estão sendo somados, então este resultado será sempre positivo.
Exemplos
1.- Considere os inteiros 1 e 2. O menor inteiro é 1. Usando a fórmula anterior, conclui-se que a soma dos quadrados é: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 = 4 + 1 = 5. O que está de acordo com as contagens feitas no início.
2.- Se se pegam os inteiros 5 e 6, então a soma dos quadrados será 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61, o que também coincide com o resultado obtido no início.
3.- Se os inteiros -10 e -9 forem escolhidos, então a soma dos seus quadrados é: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181.
4.- Sejam os inteiros nesta oportunidade -1 e 0, então a soma dos seus quadrados é dada por 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1.
Referências
- Bouzas, PG (2004). Álgebra do Ensino Médio: Trabalho Cooperativo em Matemática. Edições Narcea.
- Cabello, RN (2007). Poderes e raízes. Publique seus livros.
- Cabrera, VM (1997). Calculation 4000. Editorial Progreso.
- Guevara, MH (nd). O conjunto de números inteiros. EUNED.
- Oteyza, E. d. (2003). Albegra. Pearson Education.
- Smith, SA (2000). Álgebra. Pearson Education.
- Thomson. (2006). Passando no GED: Matemática. Publicação InterLingua.