TEORIA DAS FILAS: HISTÓRIA, MODELO, PARA QUE SERVE E EXEMPLOS - MATEMÁTICAS - 2024

A teoria das filas é o ramo da matemática que estuda os fenômenos e comportamentos nas filas de espera. São definidos quando um usuário que demanda determinado serviço decide aguardar o processamento do servidor.

Estude os elementos que estão presentes nas filas de espera de qualquer tipo, sejam eles elementos humanos, processamento de dados ou operações. Suas conclusões são de aplicação constante em linhas de produção, registro e processamento.

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Seus valores servem na parametrização de processos antes de sua implementação, servindo como um elemento organizacional fundamental para a correta gestão do planejamento.

História

O principal responsável por seu desenvolvimento foi o matemático dinamarquês Agner Kramp Erlang, que trabalhava na empresa de telecomunicações Copenhagen Telephone Exchange.

Agner observou as necessidades crescentes emergentes no sistema de prestação de serviços de telefonia da empresa. É por isso que se iniciou o estudo dos fenômenos matemáticos passíveis de quantificação no sistema de filas de espera.

Sua primeira publicação oficial foi um artigo intitulado Queuing Theory, publicado em 1909. Seu foco estava principalmente voltado para o problema de dimensionamento de linhas e centrais de comutação telefônica para atendimento de chamadas.

Modelo e elementos

Existem diferentes modelos de filas onde alguns aspectos são responsáveis ​​por definir e caracterizar cada um deles. Antes de definir os modelos, são apresentados os elementos que compõem cada modelo de fila.

-Elementos

Fonte de entrada ou população potencial

É o conjunto de possíveis candidatos ao serviço. Isso se aplica a qualquer tipo de variável, desde usuários humanos até conjuntos de pacotes de dados. Eles são classificados em finitos e infinitos, dependendo da natureza do conjunto.

A fila

Refere-se ao conjunto de elementos que já fazem parte do sistema de atendimento. Que já concordaram em aguardar a disponibilidade da operadora. Eles estão em um estado de espera por resoluções do sistema.

-O sistema de cauda

É composta pela tríade formada pela fila, o mecanismo de atendimento e a disciplina da fila. Dá estrutura ao protocolo do sistema, regendo os critérios de seleção dos elementos da fila.

- Mecanismo de serviço

É o processo pelo qual o serviço é prestado a cada usuário.

-Cliente

É qualquer elemento pertencente à população potencial que demanda um serviço. É importante saber a taxa de entrada de clientes, bem como a probabilidade que a fonte tem de gerá-los.

-Queue capacidade

Refere-se à capacidade máxima de itens que podem estar aguardando para serem atendidos. Pode ser considerado finito ou infinito, sendo na maioria dos casos infinito por critérios de praticidade.

-Disciplina da fila

É o protocolo pelo qual é determinada a ordem em que o cliente é atendido. Atua como canal de processamento e pedido para os usuários, sendo responsável pela sua disposição e movimentação dentro da fila. De acordo com seus critérios, podem ser de diferentes tipos.

- FIFO: Da sigla em inglês, primeiro a entrar, primeiro a sair, também conhecido como FCFS, primeiro a chegar, primeiro a ser servido. O que significa, respectivamente, o primeiro a entrar primeiro a sair e o primeiro a entrar primeiro a ser servido. Ambos os formulários indicam que o primeiro cliente a chegar será o primeiro a ser atendido.

- UEPS: O último a entrar, primeiro a sair, também conhecido como stack ou LCFS, o último a chegar primeiro a ser servido. Onde o cliente que chegou por último é atendido primeiro.

- RSS: Seleção aleatória de serviço também denominado serviço SIRO em ordem aleatória, onde os clientes são selecionados de acordo com critérios aleatórios ou aleatórios.

Modelos

Existem 3 aspectos que governam o modelo de filas a serem considerados. Estes são os seguintes:

- Distribuição do tempo entre chegadas: refere-se à taxa com que as unidades são adicionadas à fila. Eles são valores funcionais e estão sujeitos a diferentes variáveis ​​dependendo de sua natureza.

- Distribuição do tempo de serviço: tempo utilizado pelo servidor para processar o serviço solicitado pelo cliente. Varia de acordo com o número de operações ou procedimentos que são estabelecidos.

Esses 2 aspectos podem assumir os seguintes valores:

M: distribuição exponencial exponencial (Markoviana).

D: Distribuição degenerada (tempos constantes).

E _k: distribuição Erlang com parâmetro de forma k.

G: Distribuição geral (qualquer distribuição).

- Número de servidores: Portas de serviço abertas e disponíveis para clientes de processamento. Eles são essenciais na definição estrutural de cada modelo de filas.

Desta forma, os modelos de filas são definidos, primeiro tomando as iniciais em maiúsculas da distribuição do tempo de chegada e da distribuição do tempo de atendimento. Finalmente, o número de servidores é estudado.

Um exemplo bastante comum é MM 1, que se refere a um tipo exponencial de chegada e distribuição de tempo de serviço, ao trabalhar com um único servidor.

Outros tipos de modelos de fila são MM s, MG 1, ME 1, DM 1, entre outros.

Tipos de sistemas de filas

Existem vários tipos de sistemas de enfileiramento em que várias variáveis ​​servem como indicadores do tipo de sistema apresentado. Mas, fundamentalmente, é governado pelo número de filas e pelo número de servidores. A estrutura linear a que o usuário está sujeito para obter o serviço também se aplica.

- Uma fila e um servidor. É a estrutura usual, onde o usuário através do sistema de chegada entra na fila, onde após completar sua espera de acordo com a disciplina da fila, é processado pelo único servidor.

- Uma fila e vários servidores. O usuário, ao final do tempo de espera, pode ir a diferentes servidores que podem ser executores dos mesmos processos, bem como podem ser privados para diferentes procedimentos.

- Várias filas e vários servidores. A estrutura pode ser dividida por diferentes processos ou servir como um amplo canal para atender a uma alta demanda de serviço comum.

- Uma fila com servidores sequenciais. Os usuários passam por diferentes estágios. Eles entram e ocupam um lugar na fila, e quando são atendidos pelo primeiro servidor, passam para uma nova etapa que exige atendimentos anteriores feitos no primeiro atendimento.

Terminologia

- λ: Este símbolo (Lambda) representa na teoria das filas o valor esperado das entradas por intervalo de tempo.

- 1 / λ: Corresponde ao valor esperado entre os tempos de chegada de cada usuário que entra no sistema.

- μ: O símbolo Mu corresponde ao número esperado de clientes que concluem o serviço por unidade de tempo. Isso se aplica a todos os servidores.

- 1 / μ: Tempo de serviço esperado pelo sistema.

- ρ: O símbolo Rho denota o fator de utilização do servidor. É usado para medir quanto tempo o servidor ficará ocupado processando usuários.

ρ = λ / sμ

Se p> 1, o sistema será transitório, tenderá a crescer, pois a taxa de utilidade do servidor está abaixo do número de usuários que entram no sistema.

Se p <1, o sistema permanecerá estável.

Qual é a teoria para

Foi criado com o objetivo de otimizar os processos de prestação do serviço telefónico. Isso demarca uma utilidade no que diz respeito aos fenômenos das filas de espera, onde se busca reduzir os valores dos tempos e cancelar qualquer tipo de retrabalho ou processo redundante que retarde o processo de usuários e operadores.

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Em níveis mais complexos, onde as variáveis ​​de entrada e serviço assumem valores mistos, os cálculos realizados fora da teoria das filas são quase impensáveis. As fórmulas fornecidas pela teoria abriram o cálculo avançado neste ramo.

Elementos presentes nas fórmulas

- Pn: Valor referente à probabilidade de que “n” unidades estejam dentro do sistema.

- Lq: Comprimento da fila ou valor médio dos usuários nela.

- Ls: Média de unidades do sistema.

- Wq: Taxa média de espera na fila.

- Ws: Taxa média de espera no sistema.

- _λ: Número médio de clientes que ingressam no serviço.

- Ws (t): Valor referente à probabilidade de um cliente permanecer mais do que “t” unidades no sistema.

- Wq (t): Valor referente à probabilidade de um cliente permanecer mais do que “t” unidades na fila.

Exemplos

Um registro tem um único servidor para processar os passaportes dos usuários que chegam. Em média, 35 usuários por hora comparecem ao cadastro. O servidor tem capacidade para atender 45 usuários por hora. Já se sabia que os usuários passam em média 5 minutos na fila.

Você quer saber:

1. Tempo médio que cada usuário passa no sistema
2. Número médio de clientes na fila

Temos λ = 35/45 clientes / minutos

μ = 45/60 clientes / minutos

Wq = 5 minutos

Parte A

O tempo médio no sistema pode ser calculado com Ws

Ws = Wq + 1 / μ = 5 minutos + 1,33 = 6,33 minutos

Desta forma, é definido o tempo total que o usuário ficará no sistema, sendo 5 minutos na fila e 1,33 minutos no servidor.

Parte b

Lq = λ x Wq

Lq = (0,78 clientes minutos) x (5 minutos) = 3,89 clientes

Pode haver mais de 3 clientes na fila simultaneamente.

Referências

1. Gerenciamento de operações. Editorial Vértice, 16 de abril. 2007
2. Teoria das filas ou fila de espera. Germán Alberto Córdoba Barahona. Pontificia Universidad Javeriana, 2002
3. A teoria dos sistemas resolveu problemas. Roberto Sanchis Llopis. Publicações da Universitat Jaume I, 2002
4. Métodos quantitativos de organização industrial II. Joan Baptista Fonollosa Guardiet, José María Sallán Laws, Albert Suñé Torrents. Univ. Politèc. da Catalunha, 2009
5. Teoria do inventário e sua aplicação. Editorial Pax-México, 1967