O Teorema de Bayes é um procedimento que nos permite expressar a probabilidade condicional de um evento aleatório A dado B, em termos da distribuição de probabilidade do evento A e B desde a distribuição de probabilidade de apenas A.
Este teorema é muito útil, pois graças a ele podemos relacionar a probabilidade de que um evento A ocorra sabendo que B ocorreu, com a probabilidade de que ocorra o contrário, ou seja, de que B ocorra dado A.
O teorema de Bayes foi uma proposição de prata do reverendo Thomas Bayes, um teólogo inglês do século 18 que também era um matemático. Foi autor de várias obras em teologia, mas atualmente é conhecido por alguns tratados de matemática, entre os quais se destaca o referido Teorema de Bayes como principal resultado.
Bayes lidou com esse teorema em um trabalho intitulado "Um ensaio para resolver um problema na doutrina das chances", publicado em 1763, e no qual um grande número foi desenvolvido. estudos com aplicações nas mais diversas áreas do conhecimento.
Explicação
Em primeiro lugar, para uma melhor compreensão deste teorema, algumas noções básicas da teoria da probabilidade são necessárias, especialmente o teorema da multiplicação para probabilidade condicional, que afirma que
Para eventos arbitrários E e A de um espaço amostral S.
E a definição de partições, que nos diz que se tivermos A 1, A 2,…, A n eventos de um espaço amostral S, estes formarão uma partição de S, se os A i forem mutuamente exclusivos e sua união for S.
Diante disso, seja B outro evento. Então podemos ver B como
Onde A i interseção com B são eventos mutuamente exclusivos.
E, consequentemente,
Então, aplicando o teorema da multiplicação
Por outro lado, a probabilidade condicional de Ai dado B é definida por
Substituindo de forma adequada, temos isso para qualquer i
Aplicações do Teorema de Bayes
Graças a este resultado, grupos de pesquisa e várias corporações têm conseguido aprimorar os sistemas baseados no conhecimento.
Por exemplo, no estudo das doenças, o teorema de Bayes pode ajudar a discernir a probabilidade de uma doença ser encontrada em um grupo de pessoas com determinada característica, tomando como dados as taxas globais da doença e a prevalência dessas características em pessoas saudáveis e doentes.
Por outro lado, no mundo das altas tecnologias, tem influenciado grandes empresas que desenvolveram, graças a este resultado, software “Knowledge-Based”.
Como exemplo diário, temos o assistente do Microsoft Office. O teorema de Bayes ajuda o software a avaliar os problemas que o usuário apresenta e a determinar quais conselhos dar para que possa oferecer um serviço melhor de acordo com os hábitos do usuário.
Notavelmente, essa fórmula foi ignorada até tempos recentes, principalmente porque quando esse resultado foi desenvolvido há 200 anos, havia pouca utilidade prática para eles. Porém, em nosso tempo, graças aos grandes avanços tecnológicos, os cientistas encontraram formas de colocar esse resultado em prática.
Exercícios resolvidos
Exercício 1
Uma empresa de telefonia celular possui duas máquinas A e B. 54% dos celulares produzidos são feitos pela máquina A e o restante pela máquina B. Nem todos os telefones celulares produzidos estão em boas condições.
A proporção de telefones celulares defeituosos feitos por A é 0,2 e por B é 0,5. Qual é a probabilidade de um celular daquela fábrica estar com defeito? Qual é a probabilidade de que, sabendo que um celular está com defeito, ele venha da máquina A?
Solução
Aqui, você tem um experimento que é feito em duas partes; na primeira parte ocorrem os eventos:
A: célula feita pela máquina A.
B: célula feita pela máquina B.
Como a máquina A produz 54% dos telefones celulares e o restante é produzido pela máquina B, segue-se que a máquina B produz 46% dos telefones celulares. As probabilidades desses eventos são dadas, a saber:
P (A) = 0,54.
P (B) = 0,46.
Os eventos da segunda parte do experimento são:
D: celular com defeito.
E: celular sem defeito.
Conforme afirmado no comunicado, as probabilidades desses eventos dependem do resultado obtido na primeira parte:
P (DA) = 0,2.
P (DB) = 0,5.
Utilizando esses valores, também podem ser determinadas as probabilidades dos complementos desses eventos, ou seja:
P (EA) = 1 - P (DA)
= 1 - 0,2
= 0,8
e
p (EB) = 1 - P (DB)
= 1 - 0,5
= 0,5.
Agora o evento D pode ser escrito da seguinte maneira:
Usando o Teorema de Multiplicação para resultados de probabilidade condicional:
Em seguida, a primeira pergunta é respondida.
Agora só precisamos calcular P (AD), para o qual o Teorema de Bayes é aplicado:
Graças ao teorema de Bayes, pode-se afirmar que a probabilidade de um celular ter sido feito pela máquina A, sabendo que o celular está com defeito, é de 0,319.
Exercício 2
Três caixas contêm bolas pretas e brancas. A composição de cada um deles é a seguinte: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.
Uma das caixas é escolhida aleatoriamente e uma bola é sorteada aleatoriamente, a qual acaba sendo branca. Qual é a caixa com maior probabilidade de ter sido escolhida?
Solução
Usando U1, U2 e U3, também representaremos a caixa escolhida.
Esses eventos constituem uma partição de S e verifica-se que P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 uma vez que a escolha da caixa é aleatória.
Se B = {a bola desenhada é branca}, teremos P (B-U1) = 3/4, P (B-U2) = 2/4, P (B-U3) = 1/4.
O que queremos obter é a probabilidade de que a bola tenha sido tirada da caixa Ui sabendo que a dita bola era branca, ou seja, P (Ui -B), e ver qual dos três valores foi o mais alto para saber qual caixa foi provavelmente a extração da bola branca.
Aplicando o teorema de Bayes à primeira das caixas:
E para os outros dois:
P (U2-B) = 2/6 e P (U3-B) = 1/6.
Então, a primeira das caixas é aquela com maior probabilidade de ter sido escolhida para a extração da bola branca.
Referências
- Kai Lai Chung. Teoria de Proabilidade Elementar com Processos Estocásticos. Springer-Verlag New York Inc
- Kenneth.H. Rosen, Discrete Mathematics and its Applications. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Paul L. Meyer. Probabilidade e aplicações estatísticas. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Solved Problems of Discrete Mathematics. McGRAW-HILL.
- Seymour Lipschutz Ph.D. Teoria e problemas de probabilidade. McGRAW-HILL.