TEOREMA DE CHEBYSHOV: O QUE É, APLICAÇÕES E EXEMPLOS - MATEMÁTICAS - 2025

O teorema Chebyshev (Chebyshev ou desigualdade) é um dos resultados clássicos mais importantes da teoria da probabilidade. Permite estimar a probabilidade de um evento descrito em termos de uma variável aleatória X, fornecendo-nos um limite que não depende da distribuição da variável aleatória, mas da variância de X.

O teorema tem o nome do matemático russo Pafnuty Chebyshov (também escrito como Chebychev ou Tchebycheff) que, apesar de não ser o primeiro a apresentar o teorema, foi o primeiro a dar uma prova em 1867.

Essa desigualdade, ou aquelas que por suas características são chamadas de desigualdade de Chebyshov, é utilizada principalmente para aproximar probabilidades por meio do cálculo de alturas.

Em que consiste?

No estudo da teoria da probabilidade, ocorre que se a função de distribuição de uma variável aleatória X for conhecida, seu valor esperado - ou expectativa matemática E (X) - e sua variância Var (X) podem ser calculados, desde que tais quantias existem. No entanto, o inverso não é necessariamente verdadeiro.

Ou seja, conhecendo E (X) e Var (X) não é necessariamente possível obter a função de distribuição de X, portanto, grandezas como P (-X-> k) para algum k> 0 são muito difíceis de obter. Mas, graças à desigualdade de Chebyshov, é possível estimar a probabilidade da variável aleatória.

O teorema de Chebyshov nos diz que se tivermos uma variável aleatória X em um espaço amostral S com uma função de probabilidade p, e se k> 0, então:

Aplicações e exemplos

Entre as muitas aplicações do teorema de Chebyshov, o seguinte pode ser mencionado:

Limitando probabilidades

Esta é a aplicação mais comum e é usada para dar um limite superior para P (-XE (X) -≥k) onde k> 0, apenas com a variância e a expectativa da variável aleatória X, sem conhecer a função de probabilidade.

Exemplo 1

Suponha que o número de produtos fabricados em uma empresa durante uma semana seja uma variável aleatória com uma média de 50.

Se a variância de uma semana de produção é conhecida como sendo igual a 25, o que podemos dizer sobre a probabilidade de que esta semana a produção difira em mais de 10 da média?

Solução

Aplicando a desigualdade de Chebyshov, temos:

Disto podemos obter que a probabilidade de que na semana de produção o número de artigos exceda a média em mais de 10 é no máximo 1/4.

Teoremas de Prova de Limite

A desigualdade de Chebyshov desempenha um papel importante em provar os teoremas de limite mais importantes. Como exemplo, temos o seguinte:

Lei fraca de grandes números

Esta lei estabelece que dada uma sequência X1, X2,…, Xn,… de variáveis ​​aleatórias independentes com a mesma distribuição média E (Xi) = μ e variância Var (X) = σ ², e uma amostra média conhecida de:

Então, para k> 0, temos:

Ou equivalente:

Demonstração

Vamos primeiro observar o seguinte:

Uma vez que X1, X2,…, Xn são independentes, segue-se que:

Portanto, é possível afirmar o seguinte:

Então, usando o teorema de Chebyshov, temos:

Finalmente, o teorema resulta do fato de que o limite da direita é zero quando n se aproxima do infinito.

Deve-se notar que este teste foi feito apenas para o caso em que existe a variância de Xi; ou seja, não diverge. Assim, observamos que o teorema é sempre verdadeiro se E (Xi) existe.

Teorema do limite de Chebyshov

Se X1, X2,…, Xn,… é uma sequência de variáveis ​​aleatórias independentes de modo que exista algum C <infinito, tal que Var (Xn) ≤ C para todo n natural, então para qualquer k> 0:

Demonstração

Como a sequência de variâncias é uniformemente limitada, temos que Var (Sn) ≤ C / n, para todo n natural. Mas sabemos que:

Fazendo n tender para o infinito, os seguintes resultados:

Como a probabilidade não pode exceder o valor de 1, o resultado desejado é obtido. Como conseqüência desse teorema, podemos citar o caso particular de Bernoulli.

Se um experimento é repetido n vezes de forma independente com dois resultados possíveis (falha e sucesso), onde p é a probabilidade de sucesso em cada experimento e X é a variável aleatória que representa o número de sucessos obtidos, então para cada k> 0 se tem que:

Tamanho da amostra

Em termos de variância, a desigualdade de Chebyshov nos permite encontrar um tamanho de amostra n que é suficiente para garantir que a probabilidade de que -Sn-μ -> = k ocorra é tão pequena quanto desejado, o que permite uma aproximação para a média.

Especificamente, seja X1, X2,… Xn uma amostra de variáveis ​​aleatórias independentes de tamanho n e suponha que E (Xi) = μ e sua variância σ ². Então, pela desigualdade de Chebyshov, temos:

Exemplo

Suponha que X1, X2,… Xn sejam uma amostra de variáveis ​​aleatórias independentes com distribuição de Bernoulli, de forma que elas tomem o valor 1 com probabilidade p = 0,5.

Qual deve ser o tamanho da amostra para poder garantir que a probabilidade de que a diferença entre a média aritmética Sn e seu valor esperado (excedendo em mais de 0,1) seja menor ou igual a 0,01?

Solução

Temos que E (X) = μ = p = 0,5 e que Var (X) = σ ² = p (1-p) = 0,25. Pela desigualdade de Chebyshov, para qualquer k> 0 temos:

Agora, tomando k = 0,1 e δ = 0,01, temos:

Desta forma, conclui-se que é necessário um tamanho de amostra de pelo menos 2.500 para garantir que a probabilidade do evento -Sn - 0,5 -> = 0,1 seja menor que 0,01.

Desigualdades do tipo Chebyshov

Existem várias desigualdades relacionadas à desigualdade de Chebyshov. Uma das mais conhecidas é a desigualdade de Markov:

Nesta expressão, X é uma variável aleatória não negativa com k, r> 0.

A desigualdade de Markov pode assumir diferentes formas. Por exemplo, seja Y uma variável aleatória não negativa (então P (Y> = 0) = 1) e suponha que E (Y) = µ exista. Suponha também que (E (Y)) ^r = μ _r exista para algum inteiro r> 1. Assim:

Outra desigualdade é Gaussiana, que nos diz que dada uma variável aleatória unimodal X com modo em zero, então para k> 0,

Referências

1. Kai Lai Chung. Teoria de Proabilidade Elementar com Processos Estocásticos. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosen, Discrete Mathematics and its Applications. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Probabilidade e aplicações estatísticas. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Solved Problems of Discrete Mathematics. McGRAW-HILL.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teoria e problemas de probabilidade. McGRAW-HILL.