TEOREMA DE STEINER: EXPLICAÇÃO, APLICAÇÕES, EXERCÍCIOS - FISICA - 2025

O Steiner 's teorema, também conhecido como teorema eixo paralelo, para avaliar o momento de inércia de um corpo alongado, em torno de um eixo que é paralelo a uma outra passagem através do centro de massa do objecto.

Foi descoberto pelo matemático suíço Jakob Steiner (1796 –1863) e afirma o seguinte: seja I _CM o momento de inércia do objeto em relação a um eixo que passa por seu centro de massa CM e I _z o momento de inércia em relação a outro eixo paralelo a isso.

Figura 1. Uma porta retangular girando em suas dobradiças tem um momento de inércia que pode ser calculado aplicando o teorema de Steiner. Fonte: Pixabay.

Conhecendo a distância D que separa os dois eixos e a massa M do corpo em questão, o momento de inércia em relação ao eixo desconhecido é:

O momento de inércia indica como é fácil para um objeto girar em torno de um determinado eixo. Depende não apenas da massa corporal, mas de como ela se distribui. Por este motivo é também conhecida como inércia rotacional, estando suas unidades no Sistema Internacional Kg. m ².

O teorema mostra que o momento de inércia I _z é sempre maior que o momento de inércia I _CM por uma quantidade dada por MD ².

Formulários

Uma vez que um objeto é capaz de girar em torno de vários eixos, e nas tabelas normalmente apenas o momento de inércia é dado em relação ao eixo que passa pelo centróide, o teorema de Steiner facilita o cálculo quando é necessário girar os corpos nos eixos que não combinam com isso.

Por exemplo, uma porta geralmente não gira em torno de um eixo através de seu centro de massa, mas em torno de um eixo lateral, onde as dobradiças aderem.

Conhecendo o momento de inércia é possível calcular a energia cinética associada à rotação em torno do referido eixo. Se K é a energia cinética, I o momento de inércia em torno do eixo em questão e ω a velocidade angular, segue-se que:

Esta equação é muito semelhante à fórmula muito familiar para a energia cinética de um objeto de massa M movendo-se à velocidade v: K = ½ Mv ². E é que o momento de inércia ou de inércia rotacional I desempenha o mesmo papel na rotação que a massa M na translação.

Prova do teorema de Steiner

O momento de inércia de um objeto estendido é definido como:

I = ∫ r ² dm

Onde dm é uma porção infinitesimal da massa er é a distância entre dm e o eixo de rotação z. Na figura 2 este eixo cruza o centro de massa CM, porém pode ser qualquer.

Figura 2. Um objeto estendido em rotação em torno de dois eixos paralelos. Fonte: F. Zapata.

Em torno de outro eixo z ', o momento de inércia é:

I _z = ∫ (r ') ² dm

Agora, de acordo com o triângulo formado pelos vetores D, r e r ' (ver figura 2 à direita), existe uma soma vetorial:

r + r ' = D → r' = D - r

Os três vetores estão no plano do objeto, que pode ser xy. A origem do sistema de coordenadas (0,0) é escolhida no CM para facilitar os cálculos que se seguem.

Desta forma, o módulo quadrado do vetor r ' é:

Agora este desenvolvimento é substituído na integral do momento de inércia I _z e também a definição de densidade dm = ρ.dV é usada:

O termo M. D ² que aparece no teorema de Steiner vem da primeira integral, a segunda é o momento de inércia em relação ao eixo que passa por CM.

Por sua vez, a terceira e a quarta integrais valem 0, pois por definição constituem a posição do CM, que foi escolhida como origem do sistema de coordenadas (0,0).

Exercícios resolvidos

- Resolvido o exercício 1

A porta retangular da Figura 1 tem massa de 23 kg, 1,30 de largura e 2,10 m de altura. Determine o momento de inércia da porta em relação ao eixo que passa pelas dobradiças, supondo que a porta seja fina e uniforme.

Figura 3. Esquema do Exemplo Trabalhado 1. Fonte: modificado de Pixabay.

Solução

A partir de uma tabela de momentos de inércia, para uma placa retangular de massa M e dimensões aeb, o momento de inércia em relação ao eixo que passa por seu centro de massa é: I _CM = (1/12) M (a ² + b ²).

Uma porta homogênea será assumida (uma aproximação, uma vez que a porta na figura provavelmente não é). Nesse caso, o centro de massa passa por seu centro geométrico. Na figura 3 foi desenhado um eixo que passa pelo centro de massa e também é paralelo ao eixo que passa pelas dobradiças.

I _CM = (1/12) x 23 Kg x (1,30 ^{2 +} 2,10 ²) m ² = 11,7 Kg.m ²

Aplicando o teorema de Steiner para o eixo verde de rotação:

I = I _CM + MD ² = 11,7 Kg.m ² + 23 Kg x 0,652 m ² = 21,4 Kg.

- Exercício 2 resolvido

Encontre o momento de inércia de uma haste fina homogênea quando ela gira em torno de um eixo que passa por uma de suas extremidades, veja a figura. É maior ou menor que o momento de inércia quando gira em torno de seu centro? Por quê?

Figura 4. Esquema do exemplo resolvido 2. Fonte: F. Zapata.

Solução

De acordo com a tabela de momentos de inércia, o momento de inércia I _CM de uma haste fina de massa M e comprimento L é: I _CM = (1/12) ML ²

E o teorema de Steiner afirma que quando ele é girado em torno de um eixo que passa por uma extremidade D = L / 2 permanece:

É maior, embora não apenas duas vezes, mas 4 vezes mais, uma vez que a outra metade da barra (não sombreada na figura) gira descrevendo um raio maior.

A influência da distância ao eixo de rotação não é linear, mas quadrática. Uma massa com o dobro da distância de outra terá um momento de inércia proporcional a (2D) ² = 4D ².

Referências

1. Bauer, W. 2011. Physics for Engineering and Sciences. Volume 1. Mc Graw Hill. 313-340.
2. Georgia State University. Movimento rotacional. Recuperado de: phys.nthu.edu.tw.
3. Teorema do Eixo Paralelo. Recuperado de: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson. 190-200.
5. Wikipedia. Teorema do eixo paralelo. Recuperado de: en.wikipedia.org