TEOREMA DOS CONTOS DE MILETUS: PRIMEIRO, SEGUNDO E EXEMPLOS - MATEMÁTICAS - 2024

O primeiro e o segundo teoremas de Tales de Mileto são baseados na determinação de triângulos a partir de outros semelhantes (primeiro teorema) ou de círculos (segundo teorema). Eles têm sido muito úteis em várias áreas. Por exemplo, o primeiro teorema foi muito útil para medir grandes estruturas quando não havia instrumentos de medição sofisticados.

Tales de Mileto foi um matemático grego que deu grandes contribuições à geometria, da qual se destacam esses dois teoremas (em alguns textos ele também é escrito como Tales) e suas aplicações úteis. Esses resultados foram usados ​​ao longo da história e tornaram possível resolver uma grande variedade de problemas geométricos.

Tales de Mileto

Primeiro Teorema de Tales

O primeiro teorema de Tales é uma ferramenta muito útil que, entre outras coisas, permite a construção de um triângulo semelhante a outro, anteriormente conhecido. A partir daqui, várias versões do teorema são derivadas que podem ser aplicadas em vários contextos.

Antes de fazer sua declaração, vamos lembrar algumas noções de semelhança de triângulos. Essencialmente, dois triângulos são semelhantes se seus ângulos são congruentes (eles têm a mesma medida). Isso resulta no fato de que, se dois triângulos são semelhantes, seus lados correspondentes (ou homólogos) são proporcionais.

O primeiro teorema de Tales afirma que se uma linha for desenhada paralelamente a qualquer um de seus lados em um determinado triângulo, o novo triângulo obtido será semelhante ao triângulo inicial.

Também é obtida uma relação entre os ângulos que se formam, conforme mostrado na figura a seguir.

Inscrição

Entre as suas muitas aplicações, uma de particular interesse se destaca e diz respeito a uma das formas como eram feitas medições de grandes estruturas na Antiguidade, uma época em que viveu Thales e em que não existiam aparelhos de medição modernos que eles existem agora.

Diz-se que foi assim que Thales conseguiu medir a pirâmide mais alta do Egito, Quéops. Para isso, Thales supôs que os reflexos dos raios solares tocassem o solo formando linhas paralelas. Sob essa suposição, ele pregou um pedaço de pau ou bengala verticalmente no chão.

Ele então usou a similaridade dos dois triângulos resultantes, um formado pelo comprimento da sombra da pirâmide (que pode ser facilmente calculado) e a altura da pirâmide (o desconhecido), e o outro formado pelo comprimento da sombra e a altura da haste (que também pode ser facilmente calculada).

Usando a proporcionalidade entre esses comprimentos, a altura da pirâmide pode ser resolvida e conhecida.

Embora este método de medição possa dar um erro de aproximação significativo com relação à precisão da altura e dependa do paralelismo dos raios solares (que por sua vez depende de um tempo preciso), deve-se reconhecer que é uma ideia muito engenhosa e que forneceu uma boa alternativa de medição para a época.

Exemplos

Encontre o valor de x em cada caso:

Segundo teorema de Tales

O segundo teorema de Tales determina um triângulo retângulo inscrito em um círculo em cada ponto do mesmo.

Um triângulo inscrito em uma circunferência é um triângulo cujos vértices estão na circunferência, permanecendo contidos nela.

Especificamente, o segundo teorema de Tales afirma o seguinte: dada uma circunferência de centro O e diâmetro AC, cada ponto B da circunferência (diferente de A e C) determina um triângulo retângulo ABC, com ângulo reto

A título de justificativa, notemos que tanto OA quanto OB e OC correspondem ao raio do círculo; portanto, suas medidas são as mesmas. Disto se segue que os triângulos OAB e OCB são isósceles, onde

Sabe-se que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a 180º. Usando isso com o triângulo ABC, temos:

2b + 2a = 180º.

Equivalentemente, temos que b + a = 90º eb + a =

Observe que o triângulo retângulo fornecido pelo segundo teorema de Tales é precisamente aquele cuja hipotenusa é igual ao diâmetro da circunferência. Portanto, é completamente determinado pelo semicírculo que contém as pontas do triângulo; neste caso, o semicírculo superior.

Observemos também que no triângulo retângulo obtido por meio do segundo teorema de Tales, a hipotenusa é dividida em duas partes iguais por OA e OC (o raio). Por sua vez, esta medida é igual ao segmento OB (também o raio), que corresponde à mediana do triângulo ABC por B.

Em outras palavras, o comprimento da mediana do triângulo retângulo ABC correspondente ao vértice B é completamente determinado pela metade da hipotenusa. Lembre-se de que a mediana de um triângulo é o segmento de um dos vértices até o ponto médio do lado oposto; neste caso, o segmento BO.

Cilha circunscrita

Outra maneira de ver o segundo teorema de Tales é por meio de uma circunferência circunscrita a um triângulo retângulo.

Em geral, uma circunferência circunscrita a um polígono consiste na circunferência que passa por cada um de seus vértices, sempre que possível traçá-la.

Usando o segundo teorema de Tales, dado um triângulo retângulo, podemos sempre construir uma circunferência circunscrita a ele, com um raio igual a metade da hipotenusa e um circuncentro (o centro da circunferência) igual ao ponto médio da hipotenusa.

Inscrição

Uma aplicação muito importante do segundo teorema de Tales, e talvez a mais usada, é encontrar as retas tangentes a um determinado círculo, por meio de um ponto P externo a ele (conhecido).

Observe que dado um círculo (desenhado em azul na figura abaixo) e um ponto exterior P, existem duas linhas tangentes ao círculo que passam por P. Sejam T e T 'os pontos de tangência, r o raio do círculo, e Ou o centro.

Sabe-se que o segmento que vai do centro de um círculo a um ponto de tangência do mesmo, é perpendicular a esta reta tangente. Portanto, o ângulo OTP está correto.

Pelo que vimos anteriormente no primeiro teorema de Tales e suas diferentes versões, vemos que é possível inscrever o triângulo OTP em outro círculo (em vermelho).

Da mesma forma, obtém-se que o triângulo OT'P pode ser inscrito na mesma circunferência anterior.

Pelo segundo teorema de Tales, também obtemos que o diâmetro dessa nova circunferência é precisamente a hipotenusa do triângulo OTP (que é igual à hipotenusa do triângulo OT'P), e o centro é o ponto médio dessa hipotenusa.

Para calcular o centro da nova circunferência, então é suficiente calcular o ponto médio entre o centro - digamos M - da circunferência inicial (que já conhecemos) e o ponto P (que também conhecemos). Então o raio será a distância entre este ponto M e P.

Com o raio e o centro do círculo vermelho podemos encontrar sua equação cartesiana, que lembramos é dada por (xh) ² + (yk) ² = c ², onde c é o raio e o ponto (h, k) é o centro da circunferência.

Conhecendo agora as equações de ambos os círculos, podemos cruzá-los resolvendo o sistema de equações por eles formado, obtendo assim os pontos de tangência T e T '. Por fim, para saber as retas tangentes desejadas, basta encontrar a equação das retas que passam por T e P, e por T 'e P.

Exemplo

Considere uma circunferência de diâmetro AC, centro O e raio de 1 cm. Seja B um ponto na circunferência tal que AB = AC. Qual é a altura de AB?

Solução

Pelo segundo teorema de Tales temos que o triângulo ABC está certo e a hipotenusa corresponde ao diâmetro, que neste caso mede 2 cm (o raio é 1 cm). Então, pelo teorema de Pitágoras, temos:

Referências

1. Ana Lira, PJ (2006). Geometria e trigonometria. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
2. Goodman, A., & Hirsch, L. (1996). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Pearson Education.
3. Gutiérrez, Á. PARA. (2004). Metodologia e aplicações da matemática no Ministério da Educação ESO.
4. IGER. (2014). Matemática Segundo Semestre Zaculeu. Guatemala: IGER.
5. José Jiménez, LJ (2006). Matemática 2. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
6. M., S. (1997). Trigonometria e Geometria Analítica. Pearson Education.
7. Pérez, MA (2009). Uma história da matemática: desafios e conquistas por meio de seus personagens. Editorial Vision Libros.
8. Viloria, N., & Leal, J. (2005). Geometria analítica plana. Editorial Venezolana CA