TRAPÉZIO DIREITO: PROPRIEDADES, RELAÇÕES E FÓRMULAS, EXEMPLOS - MATEMÁTICAS - 2025

Um trapézio direito é uma figura plana com quatro lados, sendo que dois deles são paralelos entre si, chamados de bases e também um dos outros lados é perpendicular às bases.

Por isso, dois dos ângulos internos estão corretos, ou seja, medem 90º. Daí o nome "retângulo" que é dado à figura. A imagem a seguir de um trapézio direito esclarece essas características:

Elementos trapézio

Os elementos do trapézio são:

-Bases

-Vértices

-Altura

- Ângulos internos

-Base média

-Diagonais

Detalharemos esses elementos com o auxílio das figuras 1 e 2:

Figura 1. Trapézio direito, caracterizado por possuir dois ângulos internos de 90º: A e B. Fonte: F. Zapata.

Os lados do trapézio direito são denotados por letras minúsculas a, b, c e d. Os cantos da figura ou vértices são indicados em letras maiúsculas. Finalmente, os ângulos internos são expressos em letras gregas.

De acordo com a definição, as bases desse trapézio são os lados aeb, que, conforme observado, são paralelos e também possuem comprimentos diferentes.

O lado perpendicular a ambas as bases é o lado c à esquerda, que é a altura h do trapézio. E, finalmente, existe o lado d, que forma o ângulo agudo α com o lado a.

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º. É fácil ver que o ângulo ausente C na figura é 180 - α.

A base mediana é o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos (segmento EF na Figura 2).

Figura 2. Os elementos do trapézio direito. Fonte: F. Zapata.

E, finalmente, existem as diagonais d ₁ ed ₂, os segmentos que unem os vértices opostos e que se cruzam no ponto O (ver figura 2).

Relacionamentos e fórmulas

Altura do trapézio h

Perímetro P

É a medida do contorno e é calculada somando os lados:

O lado d é expresso em termos de altura ou lado c pelo teorema de Pitágoras:

Substituindo no perímetro:

Base média

É a semi-soma das bases:

Às vezes, a base média é encontrada expressa assim:

Área

A área A do trapézio é o produto da base média vezes a altura:

Diagonais, lados e ângulos

Na Figura 2 aparecem vários triângulos, tanto direitos como não direitos. O teorema de Pitágoras pode ser aplicado aos que são triângulos retângulos e aos que não são, os teoremas do cosseno e do seno.

Desta forma, as relações são encontradas entre os lados e entre os lados e os ângulos internos do trapézio.

Triângulo CPA

É um retângulo, suas pernas são iguais e valem b, enquanto a hipotenusa é a diagonal d ₁, portanto:

Triângulo DAB

Também é um retângulo, as pernas são a e c (ou também ayh) e a hipotenusa é d ₂, de modo que:

Triângulo CDA

Uma vez que este triângulo não é um triângulo retângulo, o teorema do cosseno é aplicado a ele, ou também o teorema do seno.

De acordo com o teorema do cosseno:

Triângulo CDP

Este triângulo é um triângulo retângulo e com seus lados as razões trigonométricas do ângulo α são construídas:

Mas o lado PD = a - b, portanto:

Você também tem:

Triângulo CBD

Neste triângulo temos o ângulo cujo vértice está em C. Não está marcado na figura, mas no início foi destacado que é 180 - α. Este triângulo não é um triângulo retângulo, então o teorema do cosseno ou o teorema do seno podem ser aplicados.

Agora, pode ser facilmente mostrado que:

Aplicando o teorema do cosseno:

Exemplos de trapézios direitos

Os trapézios e, em particular, os trapézios direitos são encontrados em muitos lados, e às vezes nem sempre de forma tangível. Aqui temos vários exemplos:

O trapézio como elemento de design

Figuras geométricas abundam na arquitetura de muitos edifícios, como esta igreja em Nova York, que mostra uma estrutura em forma de trapézio retangular.

Da mesma forma, a forma trapezoidal é frequente na concepção de contentores, contentores, lâminas (cortadoras ou exatas), placas e no design gráfico.

Figura 3. Anjo dentro de um trapézio retângulo em uma igreja de Nova York. Fonte: David Goehring via Flickr.

Gerador de onda trapezoidal

Os sinais elétricos não podem ser apenas quadrados, sinusoidais ou triangulares. Existem também sinais trapezoidais que são úteis em muitos circuitos. Na figura 4 há um sinal trapezoidal composto por dois trapézios direitos. Entre eles, eles formam um único trapézio isósceles.

Figura 4. Um sinal trapezoidal. Fonte: Wikimedia Commons.

Em cálculo numérico

Para calcular em forma numérica a integral definida da função f (x) entre a e b, a regra do trapézio é usada para aproximar a área sob o gráfico de f (x). Na figura a seguir, à esquerda, a integral é aproximada com um único trapézio direito.

A melhor aproximação é a da figura da direita, com vários trapézios à direita.

Figura 5. Uma integral definida entre aeb nada mais é do que a área sob a curva f (x) entre esses valores. Um trapézio direito pode servir como uma primeira aproximação para tal área, mas quanto mais trapézios usados, melhor a aproximação. Fonte: Wikimedia Commons.

Feixe com carga trapezoidal

As forças nem sempre se concentram em um único ponto, pois os corpos sobre os quais atuam têm dimensões apreciáveis. É o caso de uma ponte sobre a qual circulam continuamente veículos, a água de uma piscina nas paredes verticais da mesma ou um telhado onde se acumula água ou neve.

Por esse motivo, as forças são distribuídas por unidade de comprimento, área de superfície ou volume, dependendo do corpo sobre o qual atuam.

No caso de uma viga, uma força distribuída por unidade de comprimento pode ter várias distribuições, por exemplo, o trapézio direito mostrado abaixo:

Figura 6. Cargas em uma viga. Fonte: Bedford, A. 1996. Static. Addison Wesley Interamericana.

Na realidade, as distribuições nem sempre correspondem a formas geométricas regulares como esta, mas podem ser uma boa aproximação em muitos casos.

Como ferramenta educacional e de aprendizagem

Quadros e blocos em forma geométrica, incluindo trapézios, são muito úteis para familiarizar as crianças com o fascinante mundo da geometria desde a mais tenra idade.

Figura 7. Blocos com formas geométricas simples. Quantos trapézios direitos estão escondidos nos blocos? Fonte: Wikimedia Commons.

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

No trapézio direito da figura 1, a base maior tem 50 cm e a base menor é igual a 30 cm, também se sabe que o lado oblíquo tem 35 cm. Encontrar:

a) Ângulo α

b) Altura

c) Perímetro

d) Base média

e) Área

f) Diagonais

Solução para

Os dados da declaração são resumidos da seguinte forma:

a = base maior = 50 cm

b = base menor = 30 cm

d = lado inclinado = 35 cm

Para encontrar o ângulo α, visitamos a seção de fórmulas e equações, para ver qual é o que melhor se adequa aos dados fornecidos. O ângulo procurado é encontrado em vários dos triângulos analisados, por exemplo o CDP.

Aí temos esta fórmula, que contém o desconhecido e também os dados que conhecemos:

Portanto:

Limpa h:

d ₁ ² = 2 x (30 cm) ² = 1800 cm ²

d ₁ = √1800 cm ² = 42,42 cm

E para a diagonal d ₂:

Referências

1. Baldor, A. 2004. Geometria plana e espacial com trigonometria. Publicações culturais.
2. Bedford, A. 1996. Statics. Addison Wesley Interamericana.
3. Geometria Jr. 2014. Polygons. Lulu Press, Inc.
4. OnlineMSchool. Trapézio retangular. Recuperado de: es.onlinemschool.com.
5. Solucionador automático de problemas de geometria. O trapézio. Recuperado de: scuolaelettrica.it
6. Wikipedia. Trapézio (geometria). Recuperado de: es.wikipedia.org.