TRIÂNGULO EQUILATERAL: CARACTERÍSTICAS, PROPRIEDADES, FÓRMULAS, ÁREA - MATEMÁTICAS - 2025

Um triângulo equilátero é um polígono com três lados, onde todos são iguais; ou seja, eles têm a mesma medida. Por essa característica foi dado o nome de equilátero (lados iguais).

Os triângulos são polígonos considerados os mais simples em geometria, porque são formados por três lados, três ângulos e três vértices. No caso do triângulo equilátero, por ter lados iguais, isso implica que seus três ângulos também serão.

Um exemplo de triângulo equilátero

Características dos triângulos equiláteros

- lados iguais

Os triângulos equilaterais são figuras planas e fechadas, compostas por três segmentos de linha. Os triângulos são classificados por suas características, em relação aos seus lados e ângulos; o equilátero foi classificado tendo como parâmetro a medida de seus lados, pois são exatamente iguais, ou seja, são congruentes.

O triângulo equilátero é um caso particular do triângulo isósceles porque dois de seus lados são congruentes. Portanto, todos os triângulos equiláteros também são isósceles, mas nem todos os triângulos isósceles serão equiláteros.

Dessa forma, os triângulos equiláteros têm as mesmas propriedades de um triângulo isósceles.

Os triângulos equilaterais também podem ser classificados pela largura de seus ângulos internos como um triângulo agudo equilátero, que possui três lados e três ângulos internos com a mesma medida. Os ângulos serão agudos, ou seja, menores que 90 ^ou.

- Componentes

Os triângulos em geral possuem várias linhas e pontos que os compõem. Eles são usados ​​para calcular a área, os lados, os ângulos, a mediana, a bissetriz, a bissetriz e a altura.

• A mediana: é uma linha que parte do ponto médio de um lado e atinge o vértice oposto. As três medianas se encontram em um ponto denominado baricentro ou centróide.
• A bissetriz: é um raio que divide o ângulo dos vértices em dois ângulos de igual medida, por isso é conhecido como eixo de simetria. O triângulo equilátero tem três eixos de simetria. No triângulo equilátero, a bissetriz é desenhada do vértice de um ângulo até seu lado oposto, cortando-o em seu ponto médio. Eles se encontram em um ponto denominado incentivo.
• A bissetriz: é um segmento perpendicular ao lado do triângulo que tem sua origem no meio dele. Existem três mediatices em um triângulo e eles se encontram em um ponto chamado circuncentro.
• A altura: é a linha que vai do vértice ao lado oposto e também esta linha é perpendicular a esse lado. Todos os triângulos têm três alturas que coincidem em um ponto denominado ortocentro.

No gráfico a seguir, vemos um triângulo escaleno onde alguns dos componentes mencionados são detalhados

A bissetriz, mediana e bissetriz são coincidentes

A bissetriz divide o lado de um triângulo em duas partes. Nos triângulos equiláteros esse lado será dividido em duas partes exatamente iguais, ou seja, o triângulo será dividido em dois triângulos retângulos congruentes.

Assim, a bissetriz desenhada a partir de qualquer ângulo de um triângulo equilátero coincide com a mediana e a bissetriz do lado oposto a esse ângulo.

Exemplo:

A figura a seguir mostra o triângulo ABC com um ponto médio D que divide um de seus lados em dois segmentos AD e BD.

Traçando uma linha do ponto D ao vértice oposto, o CD mediano é obtido por definição, que é relativo ao vértice C e ao lado AB.

Visto que o segmento CD divide o triângulo ABC em dois triângulos iguais CDB e CDA, isso significa que o caso de congruência será mantido: lado, ângulo, lado e, portanto, CD também será a bissetriz de BCD.

Um segmento CD traço, o ângulo do vértice é dividido em dois ângulos iguais de 30 ^ou o ângulo do vértice A ainda medição 60 ^ou e a linha CD a um ângulo de 90 ^{, ou} em relação ao ponto médio D.

O segmento CD forma ângulos que têm a mesma medida para os triângulos ADC e BDC, ou seja, são complementares de forma que a medida de cada um será:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180 ^ou

2 _* Med. (ADC) = 180 ^ou

Med. (ADC) = 180 ^ou ÷ 2

Med. (ADC) = 90 ^o.

E então, temos que o segmento CD também é a bissetriz do lado AB.

A bissetriz e a altura são coincidentes

Desenhando a bissetriz do vértice de um ângulo até o ponto médio do lado oposto, ele divide o triângulo equilátero em dois triângulos congruentes.

Para que um ângulo 90 seja formado ^ou (reto). Isso indica que esse segmento de linha é totalmente perpendicular a esse lado e, por definição, essa linha seria a altura.

Assim, a bissetriz de qualquer ângulo de um triângulo equilátero coincide com a altura em relação ao lado oposto desse ângulo.

Ortocentro, baricentro, incentivo e circuncentro coincidente

Como a altura, mediana, bissetriz e bissetriz são representadas ao mesmo tempo pelo mesmo segmento, em um triângulo equilátero os pontos de encontro desses segmentos -o ortocentro, bissetriz, incentivo e circuncentro-, serão encontrados no mesmo ponto:

Propriedades

A principal propriedade dos triângulos equiláteros é que eles serão sempre triângulos isósceles, uma vez que os isósceles são formados por dois lados congruentes e equiláteros por três.

Desta forma, os triângulos equiláteros herdaram todas as propriedades do triângulo isósceles:

Ângulos internos

A soma dos ângulos é sempre igual a 180 ^ou, como todos os ângulos são congruentes, então cada um deles medirá 60 ^ou.

Ângulos externos

A soma dos ângulos externos 360 será sempre igual ^ou, portanto, cada ângulo externo medirá 120 ^ou. Isso porque os ângulos interno e externo são complementares, ou seja, ao adicioná-los serão sempre iguais a 180 ^o.

Soma dos lados

A soma das medidas dos dois lados deve ser sempre maior que a medida do terceiro lado, ou seja, a + b> c, onde a, bec são as medidas de cada lado.

Lados congruentes

Os triângulos equilaterais têm todos os três lados com a mesma medida ou comprimento; ou seja, eles são congruentes. Portanto, no item anterior temos que a = b = c.

Ângulos congruentes

Os triângulos equilaterais também são conhecidos como triângulos equiangulares, porque seus três ângulos internos são congruentes entre si. Isso ocorre porque todos os seus lados também têm a mesma medida.

Como calcular o perímetro?

O perímetro de um polígono é calculado adicionando os lados. Como neste caso o triângulo equilátero tem todos os seus lados com a mesma medida, seu perímetro é calculado com a seguinte fórmula:

P = 3 _* lado.

Como calcular a altura?

Como a altura é a linha perpendicular à base, ela a divide em duas partes iguais, estendendo-se até o vértice oposto. Assim, dois triângulos retângulos iguais são formados.

A altura (h) representa a perna oposta (a), o meio do lado AC para a perna adjacente (b) e o lado BC representa a hipotenusa (c).

Usando o teorema de Pitágoras, o valor da altura pode ser determinado:

3 _* l = 450 m.

P = 3 _* l

P = 3 _* 71,6 m

P = 214,8 m.

Referências

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Desenho Técnico: caderno de atividades.
2. Arthur Goodman, LH (1996). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Pearson Education.
3. Baldor, A. (1941). Álgebra. Havana: cultura.
4. BARBOSA, JL (2006). Geometria Euclidiana plana. SBM. Rio de Janeiro,.
5. Coxford, A. (1971). Geometria Uma Abordagem de Transformação. EUA: Laidlaw Brothers.
6. Euclid, RP (1886). Elementos de geometria de Euclides.
7. Héctor Trejo, JS (2006). Geometria e trigonometria.
8. León Fernández, GS (2007). Geometria Integrada. Instituto Tecnológico Metropolitano.
9. Sullivan, J. (2006). Álgebra e trigonometria. Pearson Education.