TRIÂNGULO ESCALENO: CARACTERÍSTICAS, FÓRMULA E ÁREAS, CÁLCULO - MATEMÁTICAS - 2025

Um triângulo escaleno é um polígono com três lados, todos com diferentes medidas ou comprimentos; por isso recebe o nome de escaleno, que em latim significa escalada.

Os triângulos são polígonos considerados os mais simples em geometria, porque são formados por três lados, três ângulos e três vértices. No caso do triângulo escaleno, por ter todos os lados diferentes, isso implica que seus três ângulos também serão.

Características de triângulos escalenos

Os triângulos escalenos são polígonos simples porque nenhum de seus lados ou ângulos tem a mesma medida, ao contrário dos triângulos isósceles e equiláteros.

Como todos os seus lados e ângulos têm medidas diferentes, esses triângulos são considerados polígonos convexos irregulares.

Com base na amplitude dos ângulos internos, os triângulos escalenos são classificados como:

• Triângulo retângulo escaleno: todos os lados são diferentes. Um de seus ângulos é reto (90 ^ou) e os outros são nítidos e com medidas diferentes.
• Triângulo escaleno obtuso: todos os lados são diferentes e um de seus ângulos é obtuso (> 90 ^ou).
• Triângulo agudo escaleno: todos os lados são diferentes. Todos os ângulos são agudos (<90 ^ou) com medidas diferentes.

Outra característica dos triângulos escalenos é que, devido à incongruência de seus lados e ângulos, eles não possuem um eixo de simetria.

Componentes

A mediana: é uma linha que parte do ponto médio de um lado e atinge o vértice oposto. As três medianas se encontram em um ponto denominado baricentro ou centróide.

A bissetriz: é um raio que divide cada ângulo em dois ângulos de igual medida. As bissetoras de um triângulo se encontram em um ponto denominado incentivo.

A bissetriz: é um segmento perpendicular ao lado do triângulo, que tem sua origem no meio dele. Existem três bissetores em um triângulo e eles se encontram em um ponto chamado circuncentro.

A altura: é a linha que vai do vértice ao lado oposto e também esta linha é perpendicular a esse lado. Todos os triângulos têm três alturas que coincidem em um ponto denominado ortocentro.

Propriedades

Os triângulos escalenos são definidos ou identificados porque possuem várias propriedades que os representam, originadas dos teoremas propostos por grandes matemáticos. Elas são:

Ângulos internos

A soma dos ângulos internos é sempre igual a 180 ^°.

Soma dos lados

A soma das medidas de dois lados deve ser sempre maior que a medida do terceiro lado, a + b> c.

Lados incongruentes

Todos os lados de triângulos escalenos têm diferentes medidas ou comprimentos; isto é, eles são incongruentes.

Ângulos incongruentes

Como todos os lados do triângulo escaleno são diferentes, seus ângulos também serão. Porém, a soma dos ângulos internos será sempre igual a 180º, e em alguns casos, um de seus ângulos pode ser obtuso ou reto, enquanto em outros todos os seus ângulos serão agudos.

Altura, mediana, bissetriz e bissetriz não são coincidentes

Como qualquer triângulo, o escaleno possui vários segmentos de reta que o compõem, tais como: altura, mediana, bissetriz e bissetriz.

Devido à particularidade de seus lados, neste tipo de triângulo nenhuma dessas linhas coincidirá em uma.

Ortocentro, baricentro, incentivo e circuncentro não são coincidentes

Como a altura, a mediana, a bissetriz e a bissetriz são representadas por diferentes segmentos de reta, em um triângulo escaleno os pontos de encontro - o ortocentro, o incentivo e o circuncentro - serão encontrados em pontos diferentes (eles não coincidem).

Dependendo se o triângulo é agudo, direito ou escaleno, o ortocentro tem localizações diferentes:

para. Se o triângulo for agudo, o ortocentro estará dentro do triângulo.

b. Se o triângulo estiver correto, o ortocentro coincidirá com o vértice do lado direito.

c. Se o triângulo for obtuso, o ortocentro ficará do lado de fora do triângulo.

Alturas relativas

As alturas são relativas aos lados.

No caso do triângulo escaleno, essas alturas terão medidas diferentes. Cada triângulo tem três alturas relativas e a fórmula de Heron é usada para calculá-las.

Como calcular o perímetro?

O perímetro de um polígono é calculado adicionando os lados.

Como neste caso o triângulo escaleno tem todos os seus lados com medidas diferentes, seu perímetro será:

P = lado a + lado b + lado c.

Como calcular a área?

A área dos triângulos é sempre calculada com a mesma fórmula, multiplicando a base pela altura e dividindo por dois:

Área = (base _* h) ÷ 2

Em alguns casos não se conhece a altura do triângulo escaleno, mas existe uma fórmula que foi proposta pelo matemático Herón, para calcular a área conhecendo a medida dos três lados de um triângulo.

Onde:

• a, bec representam os lados do triângulo.
• sp, corresponde ao semiperímetro do triângulo, ou seja, metade do perímetro:

sp = (a + b + c) ÷ 2

No caso de termos apenas a medida de dois dos lados do triângulo e o ângulo formado entre eles, a área pode ser calculada aplicando as razões trigonométricas. Então você tem que:

Área = (lado _* h) ÷ 2

Onde a altura (h) é o produto de um lado e o seno do ângulo oposto. Por exemplo, para cada lado, a área será:

• Área = (b _* c _* sin A) ÷ 2
• Área = (a _* c _* sen B) ÷ 2.
• Área = (a _* b _* sin C) ÷ 2

Como calcular a altura?

Como todos os lados do triângulo escaleno são diferentes, não é possível calcular a altura com o teorema de Pitágoras.

A partir da fórmula de Heron, que se baseia nas medidas dos três lados de um triângulo, a área pode ser calculada.

A altura pode ser apagada a partir da fórmula geral da área:

O lado é substituído pela medida do lado a, b ou c.

Outra forma de calcular a altura quando o valor de um dos ângulos é conhecido, é aplicando as razões trigonométricas, onde a altura representará uma perna do triângulo.

Por exemplo, quando o ângulo oposto à altura é conhecido, ele será determinado pelo seno:

Como calcular os lados?

Quando você tem a medida de dois lados e o ângulo oposto a eles, é possível determinar o terceiro lado aplicando o teorema do cosseno.

Por exemplo, em um triângulo AB, a altura relativa ao segmento AC é traçada. Desta forma, o triângulo é dividido em dois triângulos retângulos.

Para calcular o lado c (segmento AB), aplique o teorema de Pitágoras para cada triângulo:

• Para o triângulo azul, temos:

c ² = h ² + m ²

Como m = b - n, substituímos:

c ² = h ² + b ² (b - n) ²

c ² = H ² + b ² - 2bn + N ².

• Para o triângulo rosa, você deve:

h ² = a ² - n ²

É substituído na equação anterior:

c ² = a ² - n ² + b ² - ² bilhões + n ²

c ² = a ² + b ² - ² bilhões.

Sabendo que n = a _* cos C, ele é substituído na equação anterior e o valor do lado c é obtido:

c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Pela Lei dos Cossenos, os lados podem ser calculados como:

• a ² = b ² + c ² - 2b _* c _* cos A.
• b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B.
• c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Há casos em que não se conhecem as medidas dos lados do triângulo, mas sim a sua altura e os ângulos formados nos vértices. Para determinar a área nesses casos, é necessário aplicar as relações trigonométricas.

Conhecendo o ângulo de um de seus vértices, as pernas são identificadas e a razão trigonométrica correspondente é usada:

Por exemplo, a perna AB será oposta para o ângulo C, mas adjacente ao ângulo A. Dependendo do lado ou perna correspondente à altura, o outro lado é limpo para obter o valor deste.

Exercícios

Primeiro exercício

Calcule a área e a altura do triângulo escaleno ABC, sabendo que seus lados são:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

Solução

Como dados, são fornecidas as medidas dos três lados do triângulo escaleno.

Como o valor da altura não está disponível, a área pode ser determinada aplicando a fórmula de Heron.

Primeiro, o semiperímetro é calculado:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Agora os valores são substituídos na fórmula de Heron:

Conhecendo a área, a altura em relação ao lado b pode ser calculada. A partir da fórmula geral, limpando-a, temos:

Área = (lado _* h) ÷ 2

46, 47 cm ² = (12 cm _* h) ÷ 2

h = (2 _* 46,47 cm ²) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm ² ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Segundo exercício

Dado o triângulo escaleno ABC, cujas medidas são:

• Segmento AB = 25 m.
• Segmento BC = 15 m.

No vértice B, um ângulo de 50º é formado. Calcule a altura em relação ao lado c, perímetro e área desse triângulo.

Solução

Neste caso, temos as medidas dos dois lados. Para determinar a altura é necessário calcular a medição do terceiro lado.

Uma vez que o ângulo oposto aos lados dados é dado, é possível aplicar a lei dos cossenos para determinar a medida do lado AC (b):

b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B

Onde:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50 ^o.

Os dados são substituídos:

b ² = (15) ² + (25) ² - 2 _* (15) _* (25) _* cos 50

b ² = (225) + (625) - (750) _* 0,6427

b ² = (225) + (625) - (482.025)

b ² = 367.985

b = √367.985

b = 19,18 m.

Como já temos o valor dos três lados, o perímetro desse triângulo é calculado:

P = lado a + lado b + lado c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Agora é possível determinar a área aplicando a fórmula de Heron, mas primeiro o semiperímetro deve ser calculado:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

As medidas dos lados e do semiperímetro são substituídas na fórmula de Heron:

Finalmente conhecendo a área, a altura em relação ao lado c pode ser calculada. A partir da fórmula geral, limpando-a, você deve:

Área = (lado _* h) ÷ 2

143,63 m ² = (25 m _* h) ÷ 2

h = (2 _* 143,63 m ²) ÷ 25 m

h = 287,3 m ² ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Terceiro exercício

No triângulo escaleno ABC, o lado b tem 40 cm, o lado c tem 22 cm e o vértice A, um ângulo 90 é formado ^ou. Calcule a área desse triângulo.

Solução

Neste caso, são fornecidas as medidas dos dois lados do triângulo escaleno ABC, bem como o ângulo que se forma no vértice A.

Para determinar a área, não é necessário calcular a medida do lado a, pois através das relações trigonométricas usa-se o ângulo para encontrá-la.

Como o ângulo oposto à altura é conhecido, ele será determinado pelo produto de um lado e o seno do ângulo.

Substituindo na fórmula da área, temos:

• Área = (lado _* h) ÷ 2
• h = c _* sin A

Área = (b _* c _* sin A) ÷ 2

Área = (40 cm _* 22 cm _* sen 90) ÷ 2

Área = (40 cm _* 22 cm _* 1) ÷ 2

Área = 880 cm ² ÷ 2

Área = 440 cm ².

Referências

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Desenho Técnico: caderno de atividades.
2. Ángel Ruiz, HB (2006). Geometrias. Tecnologia CR,.
3. Angel, AR (2007). Álgebra elementar. Pearson Education,.
4. Baldor, A. (1941). Álgebra. Havana: cultura.
5. Barbosa, JL (2006). Geometria Euclidiana plana. Rio de Janeiro,.
6. Coxeter, H. (1971). Fundamentos de Geometria. México: Limusa-Wiley.
7. Daniel C. Alexander, GM (2014). Geometria elementar para estudantes universitários. Cengage Learning.
8. Harpe, P. d. (2000). Tópicos em Teoria Geométrica dos Grupos. University of Chicago Press.