TRIÂNGULO ISÓSCELES: CARACTERÍSTICAS, FÓRMULA E ÁREA, CÁLCULO - MATEMÁTICAS - 2025

Um triângulo isósceles é um polígono com três lados, onde dois deles têm a mesma medida e o terceiro lado uma medida diferente. Este último lado é chamado de base. Devido a esta característica foi dado este nome, que em grego significa “pernas iguais”

Os triângulos são polígonos considerados os mais simples em geometria, porque são formados por três lados, três ângulos e três vértices. São os que apresentam menor número de lados e ângulos em relação aos demais polígonos, porém seu uso é muito extenso.

Características dos triângulos isósceles

O triângulo isósceles foi classificado usando a medida de seus lados como parâmetro, uma vez que dois de seus lados são congruentes (têm o mesmo comprimento).

Com base na amplitude dos ângulos internos, os triângulos isósceles são classificados como:

• Triângulo retângulo isósceles: dois de seus lados são iguais. Um canto é linear (90 ^ou) e os outros são a mesma (45 ^ou cada)
• Triângulo obtuso isósceles: dois de seus lados são iguais. Um dos ângulos é obtuso (> 90 ^ou).
• Triângulo agudo isósceles: dois de seus lados são iguais. Todos os ângulos são agudos (<90 ^ou) onde ambos têm a mesma medida.

Componentes

• A mediana: é uma linha que parte do ponto médio de um lado e atinge o vértice oposto. As três medianas se encontram em um ponto denominado baricentro ou centróide.
• A bissetriz: é um raio que divide o ângulo de cada vértice em dois ângulos de igual medida. É por isso que é conhecido como eixo de simetria e este tipo de triângulos possui apenas um.
• A bissetriz: é um segmento perpendicular ao lado do triângulo, que tem sua origem no meio dele. Existem três mediatices em um triângulo e eles se encontram em um ponto chamado circuncentro.
• A altura: é a linha que vai do vértice ao lado oposto e também esta linha é perpendicular a esse lado. Todos os triângulos têm três alturas, que coincidem em um ponto denominado ortocentro.

Propriedades

Os triângulos isósceles são definidos ou identificados porque possuem várias propriedades que os representam, originadas dos teoremas propostos por grandes matemáticos:

Ângulos internos

A soma dos ângulos internos é sempre igual a 180 ^°.

Soma dos lados

A soma das medidas de dois lados deve ser sempre maior que a medida do terceiro lado, a + b> c.

Lados congruentes

Os triângulos isósceles têm dois lados com a mesma medida ou comprimento; ou seja, eles são congruentes e o terceiro lado é diferente destes.

Ângulos congruentes

Os triângulos isósceles também são conhecidos como triângulos isoangulares, porque eles têm dois ângulos com a mesma medida (congruentes). Eles estão localizados na base do triângulo, opostos aos lados que têm o mesmo comprimento.

Devido a isso, foi gerado o teorema que afirma que:

"Se um triângulo tiver dois lados congruentes, os ângulos opostos a esses lados também serão congruentes." Portanto, se um triângulo é isósceles, os ângulos de suas bases são congruentes.

Exemplo:

A figura a seguir mostra um triângulo ABC. Desenhando sua bissetriz do vértice do ângulo B até a base, o triângulo é dividido em dois triângulos iguais BDA e BDC:

Desta forma, o ângulo do vértice B também foi dividido em dois ângulos iguais. A bissetriz é agora o lado comum (BD) entre esses dois novos triângulos, enquanto os lados AB e BC são os lados congruentes. Assim, temos o caso de congruência de lado, ângulo, lado (LAL).

Isso mostra que os ângulos dos vértices A e C têm a mesma medida, assim como também pode ser mostrado que como os triângulos BDA e BDC são congruentes, os lados AD e DC também são congruentes.

Altura, mediana, bissetriz e bissetriz são coincidentes

A linha que se traça do vértice oposto à base até o ponto médio da base do triângulo isósceles é, ao mesmo tempo, a altura, a mediana e a bissetriz, bem como a bissetriz em relação ao ângulo oposto da base.

Todos esses segmentos coincidem em um que os representa.

Exemplo:

A figura a seguir mostra o triângulo ABC com um ponto médio M que divide a base em dois segmentos BM e CM.

Desenhando um segmento do ponto M ao vértice oposto, por definição a mediana AM é obtida, que é relativa ao vértice A e ao lado BC.

Como o segmento AM divide o triângulo ABC em dois triângulos iguais AMB e AMC, significa que o caso de lado, ângulo, lado de congruência será tido e, portanto, AM também será a bissetriz de BÂC.

Portanto, a bissetriz será sempre igual à mediana e vice-versa.

O segmento AM forma ângulos que têm a mesma medida para os triângulos AMB e AMC; ou seja, são complementares de tal forma que a medida de cada um será:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180 ^ou

2 _* Med. (AMC) = 180 ^ou

Med. (AMC) = 180 ^ou ÷ 2

Med. (AMC) = 90 ^ou

Pode-se saber que os ângulos formados pelo segmento AM em relação à base do triângulo são retos, o que indica que este segmento é totalmente perpendicular à base.

Portanto, representa a altura e a bissetriz, sabendo que M é o ponto médio.

Portanto, a linha AM:

• Representa no auge do BC.
• É de tamanho médio.
• Ele está contido na bissetriz do BC.
• É a bissetriz do ângulo do vértice Â

Alturas relativas

As alturas que são relativas a lados iguais também têm a mesma medida.

Como o triângulo isósceles tem dois lados iguais, suas duas alturas respectivas também serão iguais.

Ortocentro, baricentro, incentivo e circuncentro coincidente

Como a altura, mediana, bissetriz e bissetriz em relação à base, são representadas ao mesmo tempo pelo mesmo segmento, o ortocentro, baricentro central e circuncentro serão pontos colineares, ou seja, estarão na mesma linha:

Como calcular o perímetro?

O perímetro de um polígono é calculado adicionando os lados.

Como neste caso o triângulo isósceles tem dois lados com a mesma medida, seu perímetro é calculado com a seguinte fórmula:

P = 2 _* (lado a) + (lado b).

Como calcular a altura?

A altura é a linha perpendicular à base, ela divide o triângulo em duas partes iguais, uma vez que se estende até o vértice oposto.

A altura representa a perna oposta (a), o meio da base (b / 2) a perna adjacente e o lado “a” representa a hipotenusa.

Usando o teorema de Pitágoras, o valor da altura pode ser determinado:

a ² + b ² = c ²

Onde:

a ² = altura (h).

b ² = b / 2.

c ² = lado a.

Substituindo esses valores no teorema de Pitágoras, e resolvendo a altura, temos:

h ² + (b / 2) ² = a ²

h ² + b ² /4 = um ^dois

h ² = um ² - b ² /4

h = √ (uma ² - b ² /4).

Se o ângulo formado pelos lados congruentes for conhecido, a altura pode ser calculada com a seguinte fórmula:

Como calcular a área?

A área dos triângulos é sempre calculada com a mesma fórmula, multiplicando a base pela altura e dividindo por dois:

Existem casos em que apenas se conhecem as medidas de dois lados do triângulo e o ângulo formado entre eles. Neste caso, para determinar a área é necessário aplicar as relações trigonométricas:

Como calcular a base do triângulo?

Como o triângulo isósceles tem dois lados iguais, para determinar o valor de sua base você precisa saber pelo menos a medida da altura ou um de seus ângulos.

Sabendo a altura, o teorema de Pitágoras é usado:

a ² + b ² = c ²

Onde:

a ² = altura (h).

c ² = lado a.

b ² = b / 2, é desconhecido.

Isolamos b ² da fórmula e temos:

b ² = a ² - c ²

b = √ a ² - c ²

Como este valor corresponde a metade da base, deve ser multiplicado por dois para se obter a medida completa da base do triângulo isósceles:

b = 2 _* (√ a ² - c ²)

No caso em que apenas o valor de seus lados iguais e o ângulo entre eles sejam conhecidos, a trigonometria é aplicada, traçando uma linha do vértice até a base que divide o triângulo isósceles em dois triângulos retângulos.

Desta forma, metade da base é calculada com:

Também é possível que apenas o valor da altura e do ângulo do vértice oposto à base sejam conhecidos. Nesse caso, por trigonometria, a base pode ser determinada:

Exercícios

Primeiro exercício

Encontre a área do triângulo isósceles ABC, sabendo que dois de seus lados têm 10 cm e o terceiro lado tem 12 cm.

Solução

Para encontrar a área do triângulo, é necessário calcular a altura usando a fórmula da área relacionada ao teorema de Pitágoras, pois o valor do ângulo formado entre os lados iguais não é conhecido.

Temos os seguintes dados do triângulo isósceles:

• Lados iguais (a) = 10 cm.
• Base (b) = 12 cm.

Os valores são substituídos na fórmula:

Segundo exercício

O comprimento dos dois lados iguais de um triângulo isósceles é de 42 cm, a união desses lados forma um ângulo de 130 ^ou. Determine o valor do terceiro lado, a área desse triângulo e o perímetro.

Solução

Neste caso, as medidas dos lados e o ângulo entre eles são conhecidos.

Para saber o valor do lado que falta, ou seja, a base daquele triângulo, uma linha perpendicular é desenhada a ele, dividindo o ângulo em duas partes iguais, uma para cada triângulo retângulo formado.

• Lados iguais (a) = 42 cm.
• Ângulo (Ɵ) = 130 ^o

Agora, por trigonometria, é calculado o valor da metade da base, que corresponde à metade da hipotenusa:

Para calcular a área, é necessário saber a altura desse triângulo, que pode ser calculada pela trigonometria ou pelo teorema de Pitágoras, agora que o valor da base já foi determinado.

Por trigonometria será:

O perímetro é calculado:

P = 2 _* (lado a) + (lado b).

P = 2 _* (42cm) + (76cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Terceiro exercício

Calcule os ângulos internos do triângulo isósceles, sabendo que o ângulo da base é Â = 55 ^ou

Solução

Para encontrar os dois ângulos ausentes (Ê e Ô), é necessário lembrar duas propriedades dos triângulos:

• A soma dos ângulos internos de cada triângulo será sempre = 180 ^ou:

 + Ê + Ô = 180 ^ou

• Em um triângulo isósceles os ângulos da base são sempre congruentes, ou seja, têm a mesma medida, portanto:

 = Ô

Ê = 55 ^ou

Para determinar o valor do ângulo Ê, substituímos os valores dos outros ângulos na primeira regra e resolvemos para Ê:

55 ^ou + 55 ^ou + Ô = 180 ^ou

110 ^ou + Ô = 180 ^ou

Ô = 180 ^o - 110 ^o

Ô = 70 ^o.

Referências

1. Álvarez, E. (2003). Elementos de geometria: com numerosos exercícios e geometria da bússola. University of Medellin.
2. Álvaro Rendón, AR (2004). Desenho Técnico: caderno de atividades.
3. Angel, AR (2007). Álgebra elementar. Pearson Education.
4. Arthur Goodman, LH (1996). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Pearson Education.
5. Baldor, A. (1941). Álgebra. Havana: cultura.
6. José Jiménez, LJ (2006). Matemática 2.
7. Tuma, J. (1998). Manual de matemática de engenharia. Wolfram MathWorld.